В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия
Yana230600
Yana230600
31.12.2022 15:35 •  Математика

Сколько членов арифметической прогрессии нужно вписать между числами 1 и 31, чтобы сумма этих членов была вчетверо больше суммы двух наибольших из них?

Показать ответ
Ответ:
oksanaminenko777
oksanaminenko777
08.10.2020 22:13

Дано: \tt a_1=1; \ \ a_n=31

1. Формула n-го члена арифметической прогрессии: \tt a_n=a_1+d(n-1), отсюда разность прогрессии:

\displaystyle \tt 1+d(n-1)=31 \\ d(n-1)=31-1\\d(n-1)=30\\d=\frac{30}{n-1}

2. Сумма двух наибольших неизвестных членов:

\displaystyle \tt a_{n-1}+a_{n-2}=a_n-d+a_n-2d=2a_n-3d=2\cdot31-3\bigg(\frac{30}{n-1}\bigg)=\\\\=62-\frac{90}{n-1}

3. Сумма всех неизвестных членов:

\displaystyle \tt S_{n-2}=\frac{a_1+d+a_n-d}{2}\cdot (n-2)= \frac{a_1+a_n}{2}\cdot (n-2)=\\\\\\= \frac{1+31}{2}\cdot (n-2)= \frac{32}{2}\cdot (n-2)= 16(n-2)

4. По условию сумма всех неизвестных членов вчетверо больше суммы двух наибольших из них, тогда:

\displaystyle \tt 62-\frac{90}{n-1}=\frac{16(n-2)}{4} \\\\ 62-\frac{90}{n-1}=4(n-2); \ \ \ n\neq 1\\\\ 62-\frac{90}{n-1}=4n-8 \\\\ 62(n-1)-90=(4n-8)(n-1)\\\\ 62n-62-90=4n^2-4n-8n+8\\\\ 4n^2-74n+160=0 \ \ |:2 \\\\ 2n^2-37n+80=0 \\\\D=1369-640=729=27^2

\displaystyle \tt n_1=\frac{37-27}{4}=2.5      не удовлетворяет условию

\displaystyle \tt n_2=\frac{37+27}{4}=16

В данной арифметической прогрессии всего 16 членов, значит, между числами 1 и 31 нужно вписать 16 - 2 = 14 членов.

ответ: 14.

0,0(0 оценок)
Ответ:
Воряк
Воряк
08.10.2020 22:13
Пусть мы вписали (n-2) числа
между 1 и 31,
тогда
Имеем арифметическую прогрессию
1, 1+d, 1+2d,...1+(n-2)d, 31
a¹=1
a²=1+d
a³=1+2d
...
аⁿ-²=1+(n-3)d
aⁿ-¹=1+(n-2)d
aⁿ=31
d- разность прогрессии

сумма вписанных членов прогрессии будет равна
сумме прогрессии
от 1 до 31
минус сами числа 1 и 31:

S(a²aⁿ-¹)=S(1 ...31)-1-31=
=½(1+31)n-32=16n-32=
=16(n-2)

сумма наибольших вставленных
между 1 и 31 членов прогрессии будет равна:
1+(n-2)d +1+(n-3)d=
=2+(2n-5)d
по условию
16(n-2)=4(2+(2n-5)d)
4(n-2)=2+(2n-5)d
4n-10=(2n-5)d
d=2
...
замечаем,что
aⁿ-¹=aⁿ-d
1+(n-2)d==31-d
(n-1)d=30
n-1=30/d
n=16

А вставили мы (n-2)=14 чисел

То есть между 1 и 31 вставлены числа:
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27 и 29
Всего этих чисел 14

ответ: 14 чисел
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота