Скласти рівняння еліпса, фокуси якого розташовані на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо:

а) його мала вісь дорівнює 24, а

віддаль між фокусами 2c =10;

б) його велика вісь дорівнює 20, а ексцентриситет ε = 3/5;

в) віддаль між його директрисами дорівнює 5 і 2c = 4;

г) його мала вісь дорівнює 6, а віддаль між директрисами – 13.

9) Рассмотрим треугольник МОС, где С=60°, О=90°, М=30° соответственно. Катет ОС лежит напротив угла 30°, значит, он будет вдвое меньше гипотенузы: ОС=МС/2=4/2=2. Катет МО найдем по теореме Пифагора:

МО²=МС²-ОС²=4²-2²

МО=2√3.

Рассмотрим треугольник АСД, у которого два катета равны (т.к. в основании квадрат). Гипотезу в таком треугольнике нахрдят по формуле d=a√2.

d=AC=2OC=2×2=4.

Найдем катеты этого треугольника: а=d/√2=4/√2=2√2.

OK=AD/2=2√2/2 = √2

Найдем МК по теореме Пифагора:

МК²=МО²+ОК²=(2√3)²+(√2)²

МК=√14

ответ: МК=√14.

12) АВ=ВС=СА=12

R=a/2√3 = 12/2√3= 6/√3 = 2√3.

R=OD=2√3.

Найдем MD:

MD²=MO²+OD²=4²+(2√3)²

MD=2√7.

ответ: расстояние от точки М до прямой ВС равно 2√7

y = x4 – 8x2 + 5

1. Найдем точки экстремума функции, т.е. точки, в которых y’ = 0:

y’ = (x4 – 8x2 + 5)’ = 4x3 – 16x.

4x3 – 16x = 0;

4х (х2 – 4) = 0;

4х (х – 2) (х + 2) = 0;

х1 = 0;

х2 = -2;

х3 = 2.

2. Промежутку [-3; 2] принадлежат все найденные точки, поэтому рассмотрим значение функции на концах отрезка и в точках экстремума.

При х = -3, у = 81 – 72 + 5 = 14.

При х = -2, у = 16 – 32 + 5 = -11.

При х = -0, у = 5.

При х = 2, у = 16 – 32 + 5 = -11.

Таким образом, yнаим = у(-2) = у(2) = -11, yнаиб = у(-3) = 14.

ответ: yнаим = -11, yнаиб = 14.