Назовем множество девочек , а множество мальчиков -- . Социальную группу назовем примитивной, если удаление любого мальчика из нее сделает группу не социальной. Тем самым, всякая социальная группа порождена некоторой примитивной. Пусть -- число продолжений примитивной социальной группы . Ясно, что , поскольку объединение любого подмножества с социальной группой дает социальную группу. Количество социальных групп тем самым равно , где -- число продолжений социальной группы . В самом деле, когда мы считаем число продолжений, мы не должны забывать, что у двух примитивных социальных групп может быть одинаковое продолжение. Если продолжения групп и совпадают, то они обязательно содержат . Договоримся называть пустое множество примитивной социальной группой. Тогда если в первой сумме для некоторого , то перенесем это значение (без ущерба для четности) во вторую сумму, считая эту величину числом продолжений группы . Имеем тогда: первая сумма есть четное число, а слагаемое во второй сумме является нечетным тогда и только тогда, когда .
Утверждение: число пар примитивных множеств и таких, что имеет ту же четность, что и количество пар аналогичных множеств для .
Доказательство: в качестве доказательства можно посмотреть на иллюстрацию, где, например, и -- социальные. Теперь построим естественное соответствие. Из каждой вершины отметим ненулевое количество красных и синих ребер (иногда одно ребро красится двумя цветами). Тогда "образы" точек под действием красных ребер дадут социальную группу, скажем, , а под действием синих -- (причем ). Теперь сотрем цвета и сделаем аналогичную раскраску, но для множества (то есть для ребер, исходящих из множества мальчиков). Здесь уже будет гарантироваться, что объединение социальных групп в множестве девочек будет давать . Количество таких раскрасок -- четное число (в вершинах степени не меньше число вариантов четно; случай, когда таких нет рассмотрим отдельно), а потому общее число пар четно. Симметрично рассматривается количество пар в . Ключевое здесь то, что оба множества покрывают друг друга ребрами.
Если все степени вершин равны (например, в ), то имеется единственный случай: когда берется объединение и пустого множества. Но ребра из накрывают (поскольку ребер нулевой степени нет), а потому и в есть такая пара. ∵
Получили, что четность совпадает в обоих множествах, а значит, совпадает и четность всей суммы.
прощения, что так мудрено. Если что, отвечу на вопросы.
Назовем множество девочек
, а множество мальчиков -- 
. Социальную группу назовем примитивной, если удаление любого мальчика из нее сделает группу не социальной. Тем самым, всякая социальная группа порождена некоторой примитивной. Пусть 
-- число продолжений примитивной социальной группы 
. Ясно, что 
, поскольку объединение любого подмножества с социальной группой дает социальную группу. Количество социальных групп тем самым равно 
, где 
-- число продолжений социальной группы 
. В самом деле, когда мы считаем число продолжений, мы не должны забывать, что у двух примитивных социальных групп может быть одинаковое продолжение. Если продолжения групп 
и 
совпадают, то они обязательно содержат 
. Договоримся называть пустое множество примитивной социальной группой. Тогда если в первой сумме 
для некоторого 
, то перенесем это значение (без ущерба для четности) во вторую сумму, считая эту величину числом продолжений группы 
. Имеем тогда: первая сумма есть четное число, а слагаемое во второй сумме является нечетным тогда и только тогда, когда 
.
Утверждение: число пар примитивных множеств
и 
таких, что 
имеет ту же четность, что и количество пар аналогичных множеств для 
.
Доказательство: в качестве доказательства можно посмотреть на иллюстрацию, где, например,
и 
-- социальные. Теперь построим естественное соответствие. Из каждой вершины отметим ненулевое количество красных и синих ребер (иногда одно ребро красится двумя цветами). Тогда "образы" точек под действием красных ребер дадут социальную группу, скажем, 
, а под действием синих -- 
(причем 
). Теперь сотрем цвета и сделаем аналогичную раскраску, но для множества 
(то есть для ребер, исходящих из множества мальчиков). Здесь уже будет гарантироваться, что объединение социальных групп в множестве девочек будет давать 
. Количество таких раскрасок -- четное число (в вершинах степени не меньше 
число вариантов четно; случай, когда таких нет рассмотрим отдельно), а потому общее число пар четно. Симметрично рассматривается количество пар в 
. Ключевое здесь то, что оба множества покрывают друг друга ребрами.
Если все степени вершин равны
(например, в 
), то имеется единственный случай: когда берется объединение 
и пустого множества. Но ребра из 
накрывают 
(поскольку ребер нулевой степени нет), а потому и в 
есть такая пара. ∵
Получили, что четность
совпадает в обоих множествах, а значит, совпадает и четность всей суммы.
прощения, что так мудрено. Если что, отвечу на вопросы.
Известно, что в первой кастрюле было в 5 раз меньше компота, чем во второй.
Тогда во второй было 5x литров.
2) Весь компот из двух кастрюль перелили в третью кастрюлю.
В третью кастрюлю влили x + 5x литров компота.
До полного объема не хватило 6 литров.
А если бы мама могла долить туда эти 6 литров, то получилась бы полная кастрюля - 30 литров.
3) Составим и решим уравнение.
x + 5x + 6 = 30;
приведем подобные:
6x + 6 =30;
перенесем известное слагаемое в правую часть уравнения:
6x = 30 - 6;
6x = 24;
найдем корень уравнения:
x = 24 : 6;
x = 4 (л).
В первой кастрюле было 4 литра,
во второй в 5 раз больше: 4 · 5 = 20 литров,
в третьей кастрюле было 4 + 20 = 24 литра.