Правильний п'ятикутник має п'ять ліній дзеркальної симетрії, і обертову симетрію[en] 5-го порядку (у 72°, 144°, 216° і 288°). Діагоналі опуклого правильного п'ятикутника знаходиться у пропорції золотого перетину до його сторін.
Виведення формули площі
Площа довільного правильного многокутника дорівнює:
Довжину діагоналі правильного многокутника (далі по тексту D) можна обчислити через бічну сторону, за до золотого перетину {\displaystyle \phi }\phi . Оскільки,
Як і в будь-який опуклий багатокутник у правильний опуклий п'ятикутник можна вписати коло. Апофема, що є радіусом r кола вписаного в правильний п'ятикутник співвідноситься із довжиною сторони t:
Правильний п'ятикутник можна побудувати за до циркуля та лінійки, оскільки число 5 є числом Ферма. Відомо багато методів побудови правильного п'ятикутника. Деякі з них наведено нижче.
Метод Річмонда
Richmond pentagon 1.PNG
Richmond Pentagon 2.PNG
Побудова правильного п'ятикутника методом Річмонда[1]
Одним із методів побудови правильного п'ятикутника в середині заданого кола є метод, описаний Річмондом[2].
Перше зображення показує побудову, яка використовується в методі Річмонда для побудови сторони вписаного п'ятикутника. Коло, яким задають п'ятикутник має одиничний радіус. Його центр знаходиться в точці C, а середня точка M відмічена по середині його радіуса. Цю точку з'єднали із точкою на колі, що знаходиться вертикально над центром в точці D. Кут CMD поділено бісектрисою навпіл, і ця бісектриса перетинає вертикальну вісь в точці Q. Горизонтальна лінія, проведена через точку Q перетинає коло в точці P, а хорда PD є стороною вписаного п'ятикутника.
Визначимо довжину цієї побудованої сторони. Два правильні трикутники DCM і QCM показані внизу під колом. Використовуючи теорему Піфагора і дві сторони, гіпотенузу більшого трикутника можна знайти наступним чином {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}. Сторону h меншого трикутника тоді можна знайти за до формули половинного кута:
Знаючи довжину сторони, тепер перейдемо до нижньої діаграми для того, щоб знайти сторону s правильного п'ятикутника. Спершу, сторону a трикутника праворуч можна знайти за до теореми Піфагора:
Правильні п'ятикутники
Правильний п'ятикутник має п'ять ліній дзеркальної симетрії, і обертову симетрію[en] 5-го порядку (у 72°, 144°, 216° і 288°). Діагоналі опуклого правильного п'ятикутника знаходиться у пропорції золотого перетину до його сторін.
Виведення формули площі
Площа довільного правильного многокутника дорівнює:
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pa}{\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pa}
де P — периметр многокутника, a — апофема. Підставляючи відповідні значення параметрів P та a, отримуємо формулу:
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t}{1}}\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}}{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t}{1}}\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}}
з {\displaystyle t}t відома довжина бічної сторони. Можна записати формулу в вигляді:
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\times {\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}
Виведення формули довжини діагоналі
Довжину діагоналі правильного многокутника (далі по тексту D) можна обчислити через бічну сторону, за до золотого перетину {\displaystyle \phi }\phi . Оскільки,
{\displaystyle {\frac {D}{T}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}{\displaystyle {\frac {D}{T}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}
Відповідно:
{\displaystyle D=T\times \varphi \ .}{\displaystyle D=T\times \varphi \ .}
Радіус вписаного кола
Як і в будь-який опуклий багатокутник у правильний опуклий п'ятикутник можна вписати коло. Апофема, що є радіусом r кола вписаного в правильний п'ятикутник співвідноситься із довжиною сторони t:
{\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20\approx 0.6882\cdot t.}{\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20\approx 0.6882\cdot t.}
Методи побудови
Правильний п'ятикутник можна побудувати за до циркуля та лінійки, оскільки число 5 є числом Ферма. Відомо багато методів побудови правильного п'ятикутника. Деякі з них наведено нижче.
Метод Річмонда
Richmond pentagon 1.PNG
Richmond Pentagon 2.PNG
Побудова правильного п'ятикутника методом Річмонда[1]
Одним із методів побудови правильного п'ятикутника в середині заданого кола є метод, описаний Річмондом[2].
Перше зображення показує побудову, яка використовується в методі Річмонда для побудови сторони вписаного п'ятикутника. Коло, яким задають п'ятикутник має одиничний радіус. Його центр знаходиться в точці C, а середня точка M відмічена по середині його радіуса. Цю точку з'єднали із точкою на колі, що знаходиться вертикально над центром в точці D. Кут CMD поділено бісектрисою навпіл, і ця бісектриса перетинає вертикальну вісь в точці Q. Горизонтальна лінія, проведена через точку Q перетинає коло в точці P, а хорда PD є стороною вписаного п'ятикутника.
Визначимо довжину цієї побудованої сторони. Два правильні трикутники DCM і QCM показані внизу під колом. Використовуючи теорему Піфагора і дві сторони, гіпотенузу більшого трикутника можна знайти наступним чином {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}. Сторону h меншого трикутника тоді можна знайти за до формули половинного кута:
{\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}{\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}
де косинус і синус кута ϕ відомі із більшого трикутника. В результаті отримаємо:
{\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}{\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}
Знаючи довжину сторони, тепер перейдемо до нижньої діаграми для того, щоб знайти сторону s правильного п'ятикутника. Спершу, сторону a трикутника праворуч можна знайти за до теореми Піфагора:
{\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}{\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}
Потім знайдемо s за до теореми Піфагора і трикутника, що ліворуч:
{\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }{\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }
{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}
Таким чином сторона s буде дорівнювати:
{\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}{\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}
Пошаговое объяснение: