((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0

решить уравнения в полных дифференциалах

Показать ответ

Ответ:

aminoshkina

17.08.2020 06:28

$\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx+\left(y-\dfrac{\sin^2x}{y^2}\right)dy=0\\ \\ \underbrace{\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)}_{M(x,y)}dx+\underbrace{\left(y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}\right)}_{N(x;y)}dy=0$

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 является в полных дифференциалах, поскольку выполняется равенство $M'_y(x;y)=N'_x(x;y)=-\dfrac{\sin 2x}{y^2}$

Если функция F(x,y) удовлетворяет F'_x(x;y)=M(x,y) и F'_y(x,y)=N(x,y) , то F(x,y)=C - решение уравнения

Интегрируем функции F по переменной х

$F(x,y)=\displaystyle \int M(x,y)dx=\int\left(\dfrac{\sin 2x}{y}+x\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+C(y)$

Далее дифференцируем по у

$F'_y(x,y)=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+C(y)\right)'_y=\dfrac{\cos 2x}{2y^2}+C'(y)$

Действительно, $F'_y(x,y)=N(x,y)=y-\dfrac{1-\cos 2x}{2y^2}$ . Отсюда $C'(y)=y-\dfrac{1}{2y^2}~~~\Rightarrow~~~ C(y)=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}$

Общий интеграл

$\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2y}-\dfrac{\cos 2x}{2y}+\dfrac{x^2}{2}=C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

яяяяяя60

11.02.2021 10:43

На птичьем дворе были куры,гуси и утки.кур было 10, гусей -в 3 раза больше,чем кур,а уток- столько, сколько гусей. вскользь всего птиц было на птичьем дворе?...

vikulazvezdocka

11.02.2021 10:43

Сколько времени затратил велосипедист,если он проехал 60км с одной и той же скоростью 12км/ч?...

Likable2009

11.02.2021 10:43

Найдите нок и нод чисел 154 и 264. чему будет равна их сумма? , 35...

Napol28

11.02.2021 10:43

По осени утки при перелете в теплые страны пролетают 630км за 7ч.какое расстояние они преодолеют за 10ч,если увеличат свою скорость на 15км/ч? 1050км 1500км 950км 105км/ч...

nicita13254769p06wrf

11.02.2021 10:43

1. (х^3+2*2^х+2)^3 (х^3+4^х+2^х)^3 2.log6 (x+3) + log6 (x-2)=1 подробное решение если можно....

safeer

11.02.2021 10:43

√(x^2+4x+4)=1 знайти добуток коренів рівняння...

MozgVeka

14.08.2022 23:34

100 цукерок знаходяться у 50 коробках. дівчинка і хлопчик по черзі беруть по одній цукеркі. починає дівчинка ! довести, що хлопчик може грати так, щоб дві останні цукерки...

TITANIKбро

14.08.2022 23:34

Вычислите ((32/р)^2/5 *р^1/5)/(р^-3)...

саша080706

14.08.2022 23:34

При каком значении параметра a уравнение ax+ 2x = 3-2x не имеет корней ?...

Анд2007

14.08.2022 23:34

Вбольнице у доктора пилюлкина две палаты. в первой палате лежат 8 малышей,а во второй 14 малышей. утром выписались 5 малышей.сколько малышей после этого осталось в больнице...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку

((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0 решить уравнения в полных дифференциалах

((sin2x)/y + x)dx + (y - (sinx)^2/(y^2))dy =0

решить уравнения в полных дифференциалах