с тэстом Вопрос 1
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6?
Выберите один ответ:
a. 216
b. 36
c. 120
d. 6
Вопрос 2
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
В магазине "Все для чая" есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими можно купить чашку с блюдцем?
Выберите один ответ:
a. 5
b. 24
c. 8
d. 15
Вопрос 3
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
Сколько существует вариантов для того, чтобы разместить на подоконнике цветы – ромашку, фиалку, гвоздику в разной последовательности?
Выберите один ответ:
a. 3
b. 5
c. 8
d. 6
Вопрос 4
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
У Сережи есть 8 фломастеров. Сколькими он может выбрать 3 из них.
Выберите один ответ:
a. 83
b. 300
c. 336
d. 45
Вопрос 5
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный, зеленый и белый цвета?
Выберите один ответ:
a. 24
b. 14
c. 6
d. 36
Вопрос 6
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
В городе проводится первенство по футболу между 6 командами. Сколько состоится матчей?
Выберите один ответ:
a. 12
b. 6
c. 15
d. 9
Вопрос 7
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
Сколько различных соединений можно составить из букв слова «МИССИСИПИ»?
Выберите один ответ:
a. 2520
b. 3600
c. 1875
d. 10
Вопрос 8
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
Учащиеся изучают 3 предмета. В понедельник у них 2 урока и оба разные. Сколькими можно составить расписание?
Выберите один ответ:
a. 3
b. 5
c. 6
d. 8
Вопрос 9
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
У Незнайки 2 конверта – обычный и авиа и 3 марки – прямоугольная, квадратная, треугольная. Сколькими он может выбрать марку, чтобы отправить письмо?
Выберите один ответ:
a. 6
b. 9
c. 3
d. 5
Вопрос 10
Пока нет ответа
: 1
Не отмеченоОтметить вопрос
Текст вопроса
Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Выберите один ответ:
a. 8
b. 6
c. 3
d. 16
Часть A
A1. Упростите выражение .
1.2.3.4.Решение. Поскольку , получаем:
.Правильный ответ: 2.
A2. Найдите значение выражения .
1.2.3.4.Решение. Так как и при имеем:
.Правильный ответ: 3.
A3. Вычислите .
1.2.3.4.Решение. Используя формулы и (), получаем:
.Правильный ответ: 1.
A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке ?
1.2.3.4.Решение. Функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции.
Правильный ответ: 4.
A5. Найдите множество значений функции .
1.2.3.4.Решение. Так как , имеем:
.Правильный ответ: 2.
A6. Найдите область определения функции .
1.2.3.4.Решение. Область определения данной функции задается системой
Имеем:
С2. Найдите все значения , при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций и меньше, чем 0,25.
Решение. Искомое множество совпадает с множеством решений неравенства .
Решим это неравенство:
.
ответ: .
С3. Требуется разметить на земле участок площадью 2000 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где , и . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин , и , при которых периметр является наименьшим.
.Решение. Обозначим через , и соответственно длины отрезков , и площадь участка . Тогда периметр данного участка выражается формулой .
О ценим площадь прямоугольника :
Значит, , откуда, учитывая , получаем . Следовательно, .
Найдем наименьшее значение функции на промежутке . (Учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток: .)
На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух неотрицательных чисел получаем . При этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда , откуда, учитывая , получаем . (Исследование функции можно было также провести с производной.)
Таким образом, – наименьшее значение функции на промежутке , и достигается оно при . При этом .
ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.
C4. В пирамиде грани и перпендикулярны, . Тангенс угла между прямой и плоскостью равен . Точка выбрана на ребре так, что . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , площадь этой сферы равна . Найдите объем пирамиды .
.Решение. Опустим перпендикуляры и из точек и соответственно на плоскости и и перпендикуляр из точки на прямую , а также построим отрезки и (см. рис).
Поскольку плоскости и перпендикулярны, точки и лежат на их линии пересечения – прямой и отрезки и перпендикулярны . Кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах, , так как – проекция на плоскость .
Отрезки и – проекции равных наклонных и на плоскость , следовательно, . Таким образом, отрезок является высотой равнобедренного треугольника , а, следовательно, является и его медианой, откуда .
Центр сферы, описанной около пирамиды , лежит на ребре , следовательно, – диаметр этой сферы. Так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы и – вписанные углы, опирающиеся на диаметр , следовательно, и .
Так как – проекция на плоскость , угол является углом между прямой и плоскостью .
Далее имеем:
1) По условию, площадь сферы, описанной около пирамиды , равна , откуда , , .
2) Прямые и параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой , следовательно, , откуда , , а, значит, .
3) В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен , следовательно, . Тогда , , , .
4) Треугольники и имеют общую высоту, проведенную из вершены , следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований и , откуда получаем , .
5) Прямоугольные треугольники и подобны, так как имеют общий острый угол , следовательно, , откуда .
Окончательно имеем
ответ: .
C5. Найдите все значения , при каждом из которых оба числа и являются решениями неравенства .
Решение. Пусть . Тогда
.
Решим теперь неравенство .
1) Если , то данное неравенство равносильно системе неравенств
Решая эту систему, последовательно получаем:
.
Таким образом, все числа промежутка являются решениями данного неравенства.
.2) Если , то данное неравенство равносильно неравенству , решая которое, получаем:
Тогда, разность квадратов двух различных действительных чисел в 31 раз больше разности этих чисел (х²-у²)/(х-у)=31
Разность кубов этих чисел в 741 раз больше разности этих чисел
(х³-у³)/(х-у)=741
Решим систему уравнений:
(х²-у²)/(х-у)=31
(х³-у³)/(х-у)=741
(х-у)(х+у)/(х-у)=31
(х-у)(х²+ху+у²)/(х-у)=741
х+у=31
х²+ху+у²=741
у=31-х
х²+х(31-х)+(31-х)²=741
у=31-х
х²+31х-х²+961-62х+х²=741
х²-31х+961=741
х²-31х+961-741=0
х²-31х+220=0
D=31²-4*220=81
x₁=(31-9)/2=11 y₁=31-11=20
x₂=(31+9)/2=20 y₂=31-20=11
Значит это числа 11 и 20.
(x⁴-y⁴)/(x²-y²)=(x²-y²)(x²+y²)/(x²-y²)=x²+y²=11²+20²=121+400=521
ответ в 521 раз разность четвертых степеней этих чисел больше разности квадратов этих чисел