Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1. Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1, BC и B1C1, а угол ABC равен углу A1B1C1. Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC. При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 - со стороной BС. (В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему "перевернутый" треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1 относительно произвольной прямой .) Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства AB= A1B1, ÐBAC = ÐB1A1C1, ÐАВС= ÐА1В1С1. Поступим так же, как и в предыдущем случае. Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно "перевернуть обратной стороной". Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1 имеют место равенства АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1. Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B. Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2. В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)
Ни для кого не секрет, что на нашей планете всё начинает меняться. Полезные ископаемые потихоньку заканчиваются, загрязнения рек, атмосфер, почвы всё чаще проявляются в виде катастроф всемирного масштаба. И каждый человек, задумывающийся об окружающей среде и своей жизни понимает, что так жить нельзя - нужно что-то менять. Менять не только восстановления природных ресурсов, но и своё отношение ко всему живому вокруг.
Одной из самых обсуждаемых тем является вопрос об увеличивающихся за счет большого числа машин выхлопных газов. Они являются достаточно весомой причиной появления озоновых дыр в атмосфере. Чтобы предотвротить это загрязнение, нам необходимо создать некие клапоны, снижающие выделение опасных газов. Также, здесь возможен вариант увеличения числа доброжелателей-садовников, экологов для повышения уровня озеленения городских аллей, парков.
В мире очень много проблем, связанных с экологией. Человечество должно сделать все, чтобы большая часть из них исчезла, ну, или хотя бы снизилась. А чтобы это получилось, каждый человек планеты должен начать с себя. Даже если вы начнете сортировать мусор и отвозить его в центры переработки, уже что-то изменится в лучшую сторону. С вас будут брать пример, вам будут подражать. Таким образом, вместе мы сделаем нашу планету лучше.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.
Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1,
BC и B1C1,
а угол ABC равен углу A1B1C1.
Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC.
При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 - со стороной BС. (В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему "перевернутый" треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1 относительно произвольной прямой .)
Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства
AB= A1B1,
ÐBAC = ÐB1A1C1,
ÐАВС= ÐА1В1С1.
Поступим так же, как и в предыдущем случае. Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно "перевернуть обратной стороной".
Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1
имеют место равенства АВ = А1В1,
ВС = В1С1,
СА = С1А1.
Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B.
Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC.
Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2.
В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)
Ни для кого не секрет, что на нашей планете всё начинает меняться. Полезные ископаемые потихоньку заканчиваются, загрязнения рек, атмосфер, почвы всё чаще проявляются в виде катастроф всемирного масштаба. И каждый человек, задумывающийся об окружающей среде и своей жизни понимает, что так жить нельзя - нужно что-то менять. Менять не только восстановления природных ресурсов, но и своё отношение ко всему живому вокруг.
Одной из самых обсуждаемых тем является вопрос об увеличивающихся за счет большого числа машин выхлопных газов. Они являются достаточно весомой причиной появления озоновых дыр в атмосфере. Чтобы предотвротить это загрязнение, нам необходимо создать некие клапоны, снижающие выделение опасных газов. Также, здесь возможен вариант увеличения числа доброжелателей-садовников, экологов для повышения уровня озеленения городских аллей, парков.
В мире очень много проблем, связанных с экологией. Человечество должно сделать все, чтобы большая часть из них исчезла, ну, или хотя бы снизилась. А чтобы это получилось, каждый человек планеты должен начать с себя. Даже если вы начнете сортировать мусор и отвозить его в центры переработки, уже что-то изменится в лучшую сторону. С вас будут брать пример, вам будут подражать. Таким образом, вместе мы сделаем нашу планету лучше.