с решением.
Геометрическое определение вероятности.
Задача:
На отрезке длиной 8 см наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше 1/4 длины этого отрезка.

52+5=57 км/ч скорость другого поезда.

57+52=109 км/ч скорость сближения поездов.

427-82=345 км проедут поезда, чтобы они оказались на расстоянии 82 км друг от друга.

345÷109=345/109=3 18/109 ≈3,17 часа нужно, они на расстоянии 82 км друг от друга, но если не было встречи.

(427+82)÷109=4 73/109 ≈4,67 часа нужно, они на расстоянии 82 км друг от друга, если была встреча поездов.

ответ : Поезда на расстоянии 82 км друг от друга, были бы : через ≈3,17 ч если не было встречи или 4,67 ч если была встреча поездов.

Для двух соседних четных или двух соседних нечетных ничего доказывать не нужно. Очевидно, что:

2n + 2(n+k) = 2(2n+k) - четное при любых n; k∈N, и

(2n - 1) + (2(n+k) - 1) = 2(2n+k) - 2 - четное при любых n; k∈N.

Допустим, что все числа написаны в максимально "неприятном" для нас порядке, - четные и нечетные числа чередуются. Возможны 2 варианта: первое число четное и первое число нечетное.

В первом случае рядом оказываются четные числа под номерами 1 и 7 (если первое число четное и равно 2n, то и седьмое также четное и равно 2(n + k). n; k∈N).

Во втором случае рядом оказываются нечетные числа под номерами 1 и 7 (если первое число нечетное и равно 2n - 1, то и седьмое число также нечетное и равно 2(n + k) - 1. n; k∈N).

Понятное дело, что сумма двух четных так же, как и сумма двух нечетных чисел, есть число четное:

2n + 2(n + k) = 2(2n + k) - четное при любых n; k∈N,

2n - 1 + 2(n + k) - 1 = 2(2n + k) - 2 - четное при любых n; k∈N.

Таким образом, при любом размещении семи натуральных чисел по кругу всегда найдутся два соседних, сумма которых четна.