Для решения системы, построим расширенную матрицу:
0
2
0
3
0
4
0
0
2
0
7
4
3
0
0
2
5
3
4
0
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Ведущий элемент a1 1=0. Следовательно, для продолжения процедуры нужно выбирать ненулевой ведущий элемент посредством перестановки строк . Для этого выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1 ниже элемента a1 1 и меняем местами строки 1 и 3.
7
4
3
0
0
4
0
0
2
0
0
2
0
3
0
2
5
3
4
0
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 2,4 со строкой 1, умноженной на -4/7,-2/7 соответственно:
7
4
3
0
0
0
−
16
7
−
12
7
2
0
0
2
0
3
0
0
27
7
15
7
4
0
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на 7/8,27/16 соответственно:
7
4
3
0
0
0
−
16
7
−
12
7
2
0
0
0
−
3
2
19
4
0
0
0
−
3
4
59
8
0
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a3,3. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/2:
7
4
3
0
0
0
−
16
7
−
12
7
2
0
0
0
−
3
2
19
4
0
0
0
0
5
0
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
1
4
7
3
7
0
0
0
1
3
4
−
7
8
0
0
0
1
−
19
6
0
0
0
0
1
0
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
1 x1
+
4
7
x2
+
3
7
x3
+
0 x4
=
0
0 x1
+
1 x2
+
3
4
x3
−
7
8
x4
=
0
0 x1
+
0 x2
+
1 x3
−
19
6
x4
=
0
0 x1
+
0 x2
+
0 x3
+
1 x4
=
0
Базисные переменные x1, x2, x3, x4.
Имеем:
x1=
−
4
7
· x2
−
3
7
· x3
x2=
−
3
4
· x3 +
7
8
· x4
x3=
19
6
· x4
x4=
0
Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.
На картинке все надо решить
Пошаговое объяснение:
Матричный вид записи: Ax=b, где
A=
0
2
0
3
4
0
0
2
7
4
3
0
2
5
3
4
, b=
0
0
0
0
Для решения системы, построим расширенную матрицу:
0
2
0
3
0
4
0
0
2
0
7
4
3
0
0
2
5
3
4
0
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Ведущий элемент a1 1=0. Следовательно, для продолжения процедуры нужно выбирать ненулевой ведущий элемент посредством перестановки строк . Для этого выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1 ниже элемента a1 1 и меняем местами строки 1 и 3.
7
4
3
0
0
4
0
0
2
0
0
2
0
3
0
2
5
3
4
0
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1,1. Для этого сложим строки 2,4 со строкой 1, умноженной на -4/7,-2/7 соответственно:
7
4
3
0
0
0
−
16
7
−
12
7
2
0
0
2
0
3
0
0
27
7
15
7
4
0
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2,2. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на 7/8,27/16 соответственно:
7
4
3
0
0
0
−
16
7
−
12
7
2
0
0
0
−
3
2
19
4
0
0
0
−
3
4
59
8
0
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элемента a3,3. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/2:
7
4
3
0
0
0
−
16
7
−
12
7
2
0
0
0
−
3
2
19
4
0
0
0
0
5
0
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
1
4
7
3
7
0
0
0
1
3
4
−
7
8
0
0
0
1
−
19
6
0
0
0
0
1
0
Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:
1 x1
+
4
7
x2
+
3
7
x3
+
0 x4
=
0
0 x1
+
1 x2
+
3
4
x3
−
7
8
x4
=
0
0 x1
+
0 x2
+
1 x3
−
19
6
x4
=
0
0 x1
+
0 x2
+
0 x3
+
1 x4
=
0
Базисные переменные x1, x2, x3, x4.
Имеем:
x1=
−
4
7
· x2
−
3
7
· x3
x2=
−
3
4
· x3 +
7
8
· x4
x3=
19
6
· x4
x4=
0
Подставив нижние выражения в верхние, получим решение.
x1=
0
x2=
0
x3=
0
x4=
0
Решение в векторном виде:
x=
x1
x2
x3
x4
=
0
0
0
0