Arcsin(2x)+arcsin(x)=pi/3 Заменим : arcsin(2x)=a arcsin(x)=b Откуда верно что: sin(a)=2sin(b) a+b=pi/3 a=(pi/3-b) 2*sinb=sin(pi/3-b) 2sinb=√3/2 *cosb-1/2*sin(b) 4sinb=√3cosb-sinb 5sinb=√3*cosb 25sin^2b=3cos^2b 25sin^2b=3-3sin^2b 28sin^2 b=3 sin^2 b=x^2 28x^2=3 x=+-sqrt(3/28) После таких сложных преобразований мы могли преобрести лишние решения. Очевидно что -sqrt(3/28) не подходит тк сумма арксинусов отрицательных углов отрицательна. Но очевидно x=sqrt(3/28) решение (это даже можно проверить на калькуляторе) Покажем теперь что других решений быть не может: Возьмем функцию: y=arcsin(x)+arcsin(2x)-pi/3 Это функция монотонна возрастающая,а тогда возможно лишь 1 решение.(тк сумма 2 монотонно возрастающих функций монотонно возрастающая функция) ответ:x=√(3/28)
cos(arcsin(2x)+arcsin(x))=cos(π/3)
cos(arcsin(2x))*cos(arcsin(x))-sin(arcsin(2x))*sin(arcsin(x))=cos(π/3)
cos(arcsin(2x))*cos(arcsin(x))-2x*x=1/2
корень(1-4х^2)*корень(1-х^2)=1/2+2x^2
2корень(1-4х^2)*корень(1-х^2)=1+4x^2
4*(1-4х^2)*(1-х^2)=(1+4x^2)^2
х^2=t
4*(1-4t)*(1-t)=(1+4t)^2
4*(1-5t+4t^2)=1+8t+16t^2
4-20t=1+8t
3=28t
t=3/28
x=корень(3/28)
Заменим : arcsin(2x)=a arcsin(x)=b
Откуда верно что:
sin(a)=2sin(b)
a+b=pi/3
a=(pi/3-b)
2*sinb=sin(pi/3-b)
2sinb=√3/2 *cosb-1/2*sin(b)
4sinb=√3cosb-sinb
5sinb=√3*cosb
25sin^2b=3cos^2b
25sin^2b=3-3sin^2b
28sin^2 b=3
sin^2 b=x^2
28x^2=3
x=+-sqrt(3/28)
После таких сложных преобразований мы могли преобрести лишние решения.
Очевидно что -sqrt(3/28) не подходит тк сумма арксинусов отрицательных углов отрицательна.
Но очевидно x=sqrt(3/28) решение (это даже можно проверить на калькуляторе)
Покажем теперь что других решений быть не может:
Возьмем функцию:
y=arcsin(x)+arcsin(2x)-pi/3 Это функция монотонна возрастающая,а тогда возможно лишь 1 решение.(тк сумма 2 монотонно возрастающих функций монотонно возрастающая функция)
ответ:x=√(3/28)