решить задачу. Имеется два бака и два насоса. Первый бак наполняется с первого насоса за 9 минут, а второй бак – с второго насоса, менее мощного, чем первый, за 36 минут. Если наполнить первый бак с второго насоса, а затем второй – с первого, то суммарное время составит 1 час. За какое время можно наполнить оба бака, используя только второй насос?
Пошаговое объяснение:
Доказательство первого признака подобия через данные треугольники: Рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1, у которых А1В1 = 2AB, А1С1 = 2АС и ∠А = ∠А1.
Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что А1С1 = 2AC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам. Найдем стороны AC и А1С1 по теореме косинусов:
AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos А
А1С12 =А1В12 + В1С12 – 2 · А1В1 · В1С1 · cos А1
Так как ∠А1 = ∠А и AB = 2А1В1, BC = 2В1С1, то мы можем выразить квадрат стороны АС через угол и стороны треугольника ABC:
А1С1^2 = (2AB)^2 + (2BC)^2 – 2 · 2AB · 2BC · cos А
Вынесем 2 за скобку:
А1С1^2= 2(AB^2 + BC^2 – 2 · AB · BC · cos B)
Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:
А1С1^2 = 2AC^2
Отсюда получаем, что А1С1 = 2AC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.
Так вы уже решили, получается. 12 это точка минимума. Значение функции y в точке 12 равно 62. Это и есть ответ.
y = 2x + 288/x + 14.
y' = 2 - 288/x²
y' = 0 ⇔ (2x² - 288)/x^2 = 0 ⇒ x ≠ 0
x² - 144 = 0
x = ± 12
Расставив точки на прямой, найдем значение производной в точке 1. Производная отрицательна, значит производная убывает на промежутке от -12 до 12. На остальных промежутках возрастает. Значит, 12 - точка минимума. Т.к наименьшее значение требуется искать на промежутке [0.5;25], то она подходит. При x = 12:
y = 24 + 288/12 + 14 = 24 + 12*12*2/12 + 14 = 24 + 12*2 + 14 = 24+24+14 = 62.
При x = 1/2:
y = 1 + 576 + 14 = 591
При x = 25:
y = 50 + 288/25 + 14 = 64 + 11 13/25 = 75 13/25 (семьдесят пять целых, тринадцать двадцать пятых)