Выберем случайное (достаточно большое для выполнения условия про 1/2000) k. Докажем, что между дробями 1/(k)(k+1) и 1/(k+1)(k+2) лежит хотя бы одно плохое число. Выберем простое число t, большее 2k(k+1)(k+2) (такое найдётся из-за бесконечности простых чисел) и найдём самую маленькую дробь (так как их хотя бы две) со знаменателем, равным t, и лежащую между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2). Такая найдётся, так как разность этих двух дробей больше дроби 1/t. Пусть эта дробь равна d/t (она несократима из-за простоты t).
Пусть d/t не является плохим числом. "Начальным членом" суммы чисел будет число, не меньшее 1/k(k+1). Пусть сумма всех дробей равна 1/p - 1/q. Тогда (q-p)/pq = d/t. Тогда либо p, либо q делится на t. Но это не может быть p, так как если p делится на t, то 1/p < d/t. Значит, q делится на t. Но так как мы знаем хотя бы две дроби со знаменателем t (между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2)), то мы не получим меньшую, так как p не больше k, а q не меньше t (мы можем попасть на большую из двух дробей со знаменателем t, но не на меньшую из-за малой величины "шага"). Противоречие.
Значит, d/t - плохое число. А оно "зависело" от k, следовательно, для каждого натурального k оно есть. А натуральных чисел бесконечно много, из чего и плохих дробей - тоже.
1/n(n+1) = 1/n - 1/n+1
Пусть есть сумма чисел:
1/p(p+1) + 1/(p+1)(p+2) + ... + 1/(p+q)(p+q+1).
Эта сумма равна:
1/p - 1/(p+1) + 1/(p+1) - 1/(p+2) +...+ 1/(p+q) - 1/(p+q+1) = 1/p - 1/(p+q+1)
Выберем случайное (достаточно большое для выполнения условия про 1/2000) k. Докажем, что между дробями 1/(k)(k+1) и 1/(k+1)(k+2) лежит хотя бы одно плохое число. Выберем простое число t, большее 2k(k+1)(k+2) (такое найдётся из-за бесконечности простых чисел) и найдём самую маленькую дробь (так как их хотя бы две) со знаменателем, равным t, и лежащую между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2). Такая найдётся, так как разность этих двух дробей больше дроби 1/t. Пусть эта дробь равна d/t (она несократима из-за простоты t).
Пусть d/t не является плохим числом. "Начальным членом" суммы чисел будет число, не меньшее 1/k(k+1). Пусть сумма всех дробей равна 1/p - 1/q. Тогда (q-p)/pq = d/t. Тогда либо p, либо q делится на t. Но это не может быть p, так как если p делится на t, то 1/p < d/t. Значит, q делится на t. Но так как мы знаем хотя бы две дроби со знаменателем t (между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2)), то мы не получим меньшую, так как p не больше k, а q не меньше t (мы можем попасть на большую из двух дробей со знаменателем t, но не на меньшую из-за малой величины "шага"). Противоречие.
Значит, d/t - плохое число. А оно "зависело" от k, следовательно, для каждого натурального k оно есть. А натуральных чисел бесконечно много, из чего и плохих дробей - тоже.
ответ: верно.
Первая труба заполняет бассейн за 5 часов, а вторая за 10.
Пошаговое объяснение: Через первую за Х часов , через вторую за (Х+5) часов. В час первая труба наполняет 1/Х часть бассейна, вторая 1(Х+5) часть.
(10/3)*(1/Х)+(10/3)/(Х+5)=1
10Х+50=3*Х*Х+15Х
3Х*Х-5Х=50
Можно решить квадратное уравнение, а можно сразу увидеть корень х=5.
Привести уравнение к виду (х-5)(3х+10)=0
Видим, что второе решение отрицательно и не имеет смысла.
ответ : Первая труба заполняет бассейн за 5 часов, а вторая за 10.
Проверяем : За 10 часов они должны вместе заполнить 3 бассейна.
10*(1/5)+10/10=3