Решить 19-е егэ. а) пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105. б) можно расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1? почему? докажите. в) какое наибольшее количество чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60? как? докажите.
Рассмотрим первое слагаемое (82n). Произведение четного числа на любое другое целое дает нам четное число (правило 2).
Второе слагаемое должно быть нечетным, так как произведение двух нечетных чисел нечетно (правило 1).
И сумма четного и нечетного чисел обязательно нечетна (3), искомое число будет нечетным, что и требовалось доказать!
Примечание:
Необходимые правила:
(1) Если нечетное число умножить на нечетное, то получится тоже нечетное (Вспомним, что в прямоугольном треугольнике медиана всегда равна половине гипотенузы.
Медиана делит этот треугольник на 2 равнобедренных треугольника, в которых равные в каждом стороны - медиана и половина гипотенузы.
Против мéньшей стороны треугольника лежит его мéньший угол, и этот угол находится между гипотенузой и бóльшим катетом.
Сумма острых углов треугольника, образованного высотой, половиной гипотенузы и большим из катетов, равна 90 градусов. Вычтя из этой суммы 14 градусов, мы найдем сумму равных углов равнобедренного треугольника с мéньшими углами при основании. А один угол в нем равен:
(90-14):2=76:2=38 градусов.