2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0. Решение этого кубического уравнения даёт один действительный корень х = -0,32472.
3. Промежутки знакопостоянства функции:
y < 0, x ∈ (-∞; -0,32472),
y > 0, x ∈ (-0.32472; +∞).
4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1. - Нет 2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - - 2 x - 1. - Нет значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
5. Периодичность графика - нет периодичности.
6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты.
Так как функция не содержит дробей и корней, то точек разрыва нет.
7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
Если бы была возможность встретиться, на выбор, с известным художником, ответ был бы однозначным - ВИНСЕНТ ВАН ГОГ.Давно я с забвением всматриваюсь в его картины. Нравятся. Есть в них то, что притягивает мой взор. Чем больше я узнаю о его жизни - тем страшнее интереснее становится, почему же именно его живопись, его творения и шедевры мне так близки... Ван Гог прожил всего 37 лет, из которых лишь последние семь с небольшим были посвящены живописи. Однако его творческое наследие поразительно. Это около тысячи рисунков и почти столько же картин, созданных в результате вулканических творческих извержений, когда в течении долгих недель Ван Гог писал по одной-две картины ежедневно.а свою жизнь Ван Гог продал лишь одну картину ("Красные виноградники в Арле"), а ровно через сто лет на аукционе Кристи в Нью-Йорке его "Портрет доктора Гаше" был куплен за 82,5 миллиона долларов (рекорд среди живописных произведений). Ван Гог стал последним истинно великим художником в истории, недосягаемым примером для других, самоотверженное и героическое искусство которого, словно факел, словно радуга, сияет теперь над человечеством. Его картины это потрясающий, полный любви и страдания диалог - с самим собой, с богом, с миром Все знают эту картину. Это как портрет Моны Лизы. Это чудо. 15 цветов в вазе. Но это не просто цветы в вазе. Это что-то почти космическое. Для Ван Гога эти цветы были священным символом.Они были полны символическим смыслом. Подсолнух считается очень важным символом- из-за того, что они всегда поворачиваются к солнцу, их считали символом верности; душой, следующей за Христом; светом нашего Мира. Ван Гог был настолько одержим темой подсолнухов, что возвращался к ней 11 раз. Этот шедевр был не первой попыткой художника.Среди 11 картин на эту тему -она восьмая и самая главная. Семь предыдущих вели к ней, последующие- стали копией. Подсолнухи отразили путь художника от ученика к мастеру. Они стали основанием для совершенно нового течения в живописи. Ясно, что они полны смысла. Этот шедевр стал плодом трагического непонимания между двумя людьми. Оно лежит в основе самых противоречивых союзов в мире искусства - между Винсентом Ван Гогом и его наставником Полем Гогеном. В подсолнухах видят символ долгих, продуктивных и подавляющих отношений; целей, амбицей и идеалов, которые художники несут в живопись. Это священная реликвия, несущая в себе столько личного, что её можно считать автопортретом Ван Гога. Эта картина тревожит нас по сей день..ПОДСОЛНУХИ
1.Область определения функции: х ∈ R.
2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0.
Решение этого кубического уравнения даёт один действительный корень х = -0,32472.
3. Промежутки знакопостоянства функции:
y < 0, x ∈ (-∞; -0,32472),
y > 0, x ∈ (-0.32472; +∞).
4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).
Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1. - Нет
2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1 = - -1 x^{3} - - 3 x^{2} - - 2 x - 1. - Нет
значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
5. Периодичность графика - нет периодичности.
6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты.
Так как функция не содержит дробей и корней, то точек разрыва нет.
7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.
Производная функции y' = 3x² -6x + 2.
Корни уравнения 3x² -6x + 2 = 0 равны 1 +- (√3/3).
Максимум функции равен 1 + (2/(3√3)) при х = 1 - (√3/3),
минимум равен 1 - (2/(3√3)) при х = 1 + (√3/3).
8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.
Вторая производная равна: y'' = 6х - 6 = 6(x - 1).
Поэтому точка перегиба одна: х = 1, у = 1.
9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.
Предел равен ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right)\right) = \infty.
Предел равен ∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует.
Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = -\infty.
Предел равен -∞.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(2 x + x^{3} - 3 x^{2} + 1\right) = \infty.
Предел равен ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.
y(x)=x3−3x2+2x+1y(x)=x3−3x2+2x+1Таблица точек:
x y-2.0 -23 -1.5 -12.1 -1.0 -5 -0.5 -0.9 0 1 0.5 1.4 1.0 1 1.5 0.6 2.0 1 2.5 2.9 3.0 7 3.5 14.1 4.0 25
11. Построение графика функции по проведенному исследованию - дан в приложении.