Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
баскетбол был изобретен в 1891г. преподавателем воспитания спрингфилдского колледжа в штате масачусетс сша доктором джеймсом нейсмитом.
созданный первоначально для оживления уроков по гимнастике, баскетбол постепенно превратился в спортивную игру со всеми присущими ей особенностями. в 1894г. в сша были изданы первые официальные правила игры, по которым начали проводиться соревнования. знаменательным событием в развитии игры явилось создание 18 июня 1932г. международной федерации баскетбола – фиба.
описания игр, напоминающих современный баскетбол, встречаются у древних норманнов и во многих культурах «доколумбовой америки». модернизированная версия одной из таких игр – пок-та-пок, бывшей некогда и религиозным обрядом, – до сих пор встречается в северных штатах мексики как спортивное развлечение и аттракцион для туристов.
в числе непосредственных предшественников баскетбола нередко называют распространенную в 19 в. в некоторых странах детскую игру «утка на скале», с которой был хорошо знаком джеймс нейсмит (1861–1939): подбрасывая небольшой камень, играющий должен был поразить им вершину другого, более крупного по размеру, камня. по утверждению биографов нейсмита, именно в момент игры в «утку на скале» в голове юного джеймса зародилась в общих чертах «концепция баскетбола». она окончательно созрела, когда доктор нейсмит стал преподавать анатомию и физкультуру в международном тренировочном колледже молодежи ymca в городке спрингфилд (штат массачусетс). нейсмит заметил, что студентам зимние занятия гимнастикой в зале кажутся слишком однообразными, и решил занять их какой-нибудь новой подвижной игрой на ловкость и координацию, которую можно было бы проводить в закрытом помещении – причем относительно небольшом по своим размерам. в разных концах спортивного зала к , опоясывавшему его по периметру, прикрепили две корзины (по- «basket», отсюда и название новой игры) из-под фруктов (высота от пола до края оказалась равной 3 м 5 см, отсюда стандарт, который выдерживается по сей день на всех баскетбольных площадках мира). студентам надо было попасть мячом в корзину. так родился баскетбол.
Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
баскетбол был изобретен в 1891г. преподавателем воспитания спрингфилдского колледжа в штате масачусетс сша доктором джеймсом нейсмитом.
созданный первоначально для оживления уроков по гимнастике, баскетбол постепенно превратился в спортивную игру со всеми присущими ей особенностями. в 1894г. в сша были изданы первые официальные правила игры, по которым начали проводиться соревнования. знаменательным событием в развитии игры явилось создание 18 июня 1932г. международной федерации баскетбола – фиба.
описания игр, напоминающих современный баскетбол, встречаются у древних норманнов и во многих культурах «доколумбовой америки». модернизированная версия одной из таких игр – пок-та-пок, бывшей некогда и религиозным обрядом, – до сих пор встречается в северных штатах мексики как спортивное развлечение и аттракцион для туристов.
в числе непосредственных предшественников баскетбола нередко называют распространенную в 19 в. в некоторых странах детскую игру «утка на скале», с которой был хорошо знаком джеймс нейсмит (1861–1939): подбрасывая небольшой камень, играющий должен был поразить им вершину другого, более крупного по размеру, камня. по утверждению биографов нейсмита, именно в момент игры в «утку на скале» в голове юного джеймса зародилась в общих чертах «концепция баскетбола». она окончательно созрела, когда доктор нейсмит стал преподавать анатомию и физкультуру в международном тренировочном колледже молодежи ymca в городке спрингфилд (штат массачусетс). нейсмит заметил, что студентам зимние занятия гимнастикой в зале кажутся слишком однообразными, и решил занять их какой-нибудь новой подвижной игрой на ловкость и координацию, которую можно было бы проводить в закрытом помещении – причем относительно небольшом по своим размерам. в разных концах спортивного зала к , опоясывавшему его по периметру, прикрепили две корзины (по- «basket», отсюда и название новой игры) из-под фруктов (высота от пола до края оказалась равной 3 м 5 см, отсюда стандарт, который выдерживается по сей день на всех баскетбольных площадках мира). студентам надо было попасть мячом в корзину. так родился баскетбол.