пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
Безнең чиксез киң илебездә матур шәһәрләр һәм авыллар бик күп. Тик бөек татар телендә аңлашып, сөйләшеп, татар халкының гореф-гадәтләренә буйсынып яшәгән кешеләр, әлбәтта, Татарстан республикасында гомер кичерә. Татарстан республикасы экономик яктан һәм кеше саны буенча Русиянең иң зур республикалыраның берсе. Шулай ук хәзерге Татарстан йөздән артык милләткә туган йорт, туган як. Ул күп милләтле республика. Татарстан үзенең бай тарихы һәм уникаль табигать ресурслары белән халкында горурлык хисе уята, шуңа күрә дә бу табигать почмагы туристларның игътибарын яулап алган. Зур уңыш бирә торган киң басулар, күп миллионлы шәһәрләр зәңгәр сулы Кама, Идел елгалары һәм яшел урманнар белән алмаша. Республика җир асты байлыклары белән дә горурлана ала.
Татарстан республикасында татар мөселман һәм рус православие мәдәниятенең үзара бәйләнеп яшәвенең үрнәге күрсәтелгән.Тарихының авыр вакыйгаларына карамастан, татар һәм рус халкы татулыкта һәм бердәмлектә яши.
Татарстанда буыннан-буынга күчеп килгән гореф-гадәтләр, бәйрәмнәр бик күп. Шуларның берсе - Сабантуй бәйрәме. Бу милли бәйрәм язгы чәчу тәмамлануга багышлана. Элек-электән Сабантуйның күрке - ат чабышлары, әлеге Татарстанда да бу спорт төренә бик әһәмиятле урын бирелә. Сабантуй бәйрәме Татарстанда гына түгел, ә татарлар яшәгән барлык регионнарда да, хәтта чит илләрдә дә үткәрелә.
Татар халкының милли бәйрәмнәре белән бергә республикада яшәүче башка милләтләрнең дә бәйрәмнәренә дә зур игътибар салынган.
Татар көйләре бигрәк тә моңлы булып тоела. Башка телләргә тәрҗемә ителми торган моң сүзе татар халкының күңелен сыйфатлый. Татар шигырьяте һәм җыр иҗаты белән бер рәттә татар мәдәниятендә традицион һөнәрләр дә зур урын алып тора, алар татар халкының рухи дөньясын чагылдыралар. Мәсәлән, татар халкының ювелир сәнгате бөтен дөньяга билгеле. Шулай итеп, татар сәнгате безнең – татарларның - борынгы буыннарыбызның яшәү рәвешен, мәдәниятен чагылдыра. Без, егерме беренче гасыр кешеләре, үз халкыбызның, үз туган ягыбызның гореф-гадәтләрен ихтирам итеп яшәргә тиешбез.
Лемма ученика 57 школы: 1+2+4+8+...+2^n= 2^(n+1)-1
Докажем по индукции:
База:
1 = 2-1
1+2 = 3 = 4-1
Шаг:
пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
По лемме ученика 57 школы 1+2++2^100= 2^101-1
а 2^101 монет быть не может.
ответ:2^101-1