Очевидно, что их расположение обладает центральной симметрией. Поскольку в доме имеются и рыцари и лжецы, то расположим в квартиру под номером 5 рыцаря. У него четверо соседей в квартирах 2, 4, 6 и 8. Поскольку он всегда говорит правду, то его соседями должны быть либо четверо рыцарей, либо трое рыцарей и двое лжецов. Допустим вначале, что все его соседи являются рыцарями. Тогда или все жители дома будут рыцарями, а это не так по условию или в двух из угловых квартир будет по лжецу и соседями лжецов будут по два рыцаря, но это невозможно, поскольку лжецы всегда лгут. Пусть теперь у рыцаря из квартиры 5 трое соседей рыцари, а один, допустим из 8-й квартиры, лжец. Тогда жители квартир 7 и 9 тоже лжецы, а квартир 1 и 3 - рыцари. Т. е. всего имеем 6 рыцарей и 3 лжецов. Разместив изначально в 5-ой квартире лжеца, убеждаемся, что решение единственно.
Рассмотрим степени простых чисел 2 ≤ p ≤ 7, входящих в произведение чисел ряда от 1 до 15. Это числа 2, 3, 5, 7. Простые числа 11 и 13 сразу исключаем. Поскольку четных чисел всего 7, из них 4=2^2, 8=2^3, а 12=2^2*3, то максимальная степень двойки в нашем произведении 2^11. Исключаем отсюда число 2. Отсюда максимальная, устраивающая нас степень двойки 2^10, поскольку 2^10=(2^5)^2. Чисел, кратных трем всего пять, из них 9=3^2, поэтому максимальная степень тройки 3^6, которая нас устраивает, т . к. 3^6 = (3^3)^2. Чисел, кратных 5 всего три, но максимальная степень пятерки, которая нас устраивает 5^2, поэтому исключаем число 5 и наконец, чисел, кратных 7 у нас два и максимальная степень семерки 7^2. Тогда получаем произведение 1*3*4*6*7*8*9*10*12*14*15=2^10*3^6*5^2*7^2=(2^5*3^3*5*7)^2=30240^2. Т. о. в нашем произведении оказываются задействованы все числа кроме 2, 5, 11 и 13. Т. е. максимальное количество чисел необходимое для получения квадрата натурального числа равно 15-4 =11.
Пронумеруем квартиры в доме:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Очевидно, что их расположение обладает центральной симметрией. Поскольку в доме имеются и рыцари и лжецы, то расположим в квартиру под номером 5 рыцаря. У него четверо соседей в квартирах 2, 4, 6 и 8. Поскольку он всегда говорит правду, то его соседями должны быть либо четверо рыцарей, либо трое рыцарей и двое лжецов. Допустим вначале, что все его соседи являются рыцарями. Тогда или все жители дома будут рыцарями, а это не так по условию или в двух из угловых квартир будет по лжецу и соседями лжецов будут по два рыцаря, но это невозможно, поскольку лжецы всегда лгут. Пусть теперь у рыцаря из квартиры 5 трое соседей рыцари, а один, допустим из 8-й квартиры, лжец. Тогда жители квартир 7 и 9 тоже лжецы, а квартир 1 и 3 - рыцари. Т. е. всего имеем 6 рыцарей и 3 лжецов. Разместив изначально в 5-ой квартире лжеца, убеждаемся, что решение единственно.
ответ: 6 рыцарей
Рассмотрим степени простых чисел 2 ≤ p ≤ 7, входящих в произведение чисел ряда от 1 до 15. Это числа 2, 3, 5, 7. Простые числа 11 и 13 сразу исключаем. Поскольку четных чисел всего 7, из них 4=2^2, 8=2^3, а 12=2^2*3, то максимальная степень двойки в нашем произведении 2^11. Исключаем отсюда число 2. Отсюда максимальная, устраивающая нас степень двойки 2^10, поскольку 2^10=(2^5)^2. Чисел, кратных трем всего пять, из них 9=3^2, поэтому максимальная степень тройки 3^6, которая нас устраивает, т . к. 3^6 = (3^3)^2. Чисел, кратных 5 всего три, но максимальная степень пятерки, которая нас устраивает 5^2, поэтому исключаем число 5 и наконец, чисел, кратных 7 у нас два и максимальная степень семерки 7^2. Тогда получаем произведение 1*3*4*6*7*8*9*10*12*14*15=2^10*3^6*5^2*7^2=(2^5*3^3*5*7)^2=30240^2. Т. о. в нашем произведении оказываются задействованы все числа кроме 2, 5, 11 и 13. Т. е. максимальное количество чисел необходимое для получения квадрата натурального числа равно 15-4 =11.
ответ: 11.