При каких значениях а функция y(x) возрастает на всей области определения y(x)=1/3*x^3+(a-1)*x^2+2

У(х) = ⅓х³ + (а-1)х² + 2

у'(х) = х² + 2(а-1)х

Для выполнения нужного условия необходимо, чтобы следующее уравнение имело единственный корень либо вовсе не имело корней:

х² + 2(а-1)х = 0

х(х + 2а - 2) = 0

Заметим, что х = 0 всегда будет корнем уравнения. Тогда необходимо, чтоб корнем скобки х + 2а - 2 тоже был 0.

0 + 2а - 2 = 0 => а = 1

ответ: при а = 1 ф-ция у(х) возрастает на всей области определения.