Представьте число 86 в виде сумму трёх слагаемых x, y и z таких, чтобы x : y = 2 : 9, а y : z = 6 : 7.

Такие задачи можно делать некрасиво, с дробями, а можно красиво. Буду учить Вас красивому Первое равенство говорит о том, что если x поделить на две части, а y на 9 частей, то эти части будут совпадать. Иными словами, условие в задаче означает, что x=2p; y=9p.
Аналогично второе условие означает, что y=6q; z=7q.
Пока рассуждение не устраивает меня в полной мере, мне хочется, чтобы все три неизвестные выражались через какую-то одну, причем без дробей. 
Обращаем внимание сейчас на y, потому что он входит в оба равенства. В первом случае мы делили y на 9 частей,  но это не устраивает нас во втором случае, когда мы делили y на 6 частей. Все встает на свои места, если каждую из 9 частей игрека мы поделим на 2 (получится 18 частей) (конечно, части x нам тоже придется делить пополам; получится 4 части) ,
а каждую из 6 частей игрека поделим на три (снова получится 18 частей, при этом части z нам тоже придется делить на три; получится 21 часть.

Окончательно это мое (надеюсь не слишком сложное) рассуждение подсказывает записать

                                         x=4t; y=18t; z=21t.

А тогда 86=x+y+z=4t+18t+21t=43t ⇒ t=2⇒ x=8; y=36; z=42.

Надеюсь, Вам понравилось мое рассуждение, Вы его освоите, научитесь делать подобного типа рассуждения почти автоматически, что не раз Вам избегать утомительных вычислений с дробями.