ПРАКТИКУМ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

Решение прямоугольного треугольника

Задача 1

Задача 2

В прямоугольном треугольнике LPK прямым углом Р известно, что LP 48 LK = 52. Найти:

В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом К известно, что КМ = 20 KN = 21. Найти:

2 2 Радиус описанной окружности 3 Площадь треугольника

Синус меньшего острого угла

2 Высоту, опущенную на гипотенузу 3 Радиус вписанной окружности 4 Радиус описанной окружности

5 5 Косинус большего острого угла 6 Высоту, опущенную на гипотенузу 7 Медиану KN 8 Медиану LQ

5 Площадь треугольника Синус большего острого угла Косинус меньшего острого угла

8 Тангенс угла, внешнего к ZM

9 Тангенс угла, внешнего к ZK 10 Косинус угла, внешнего к ZL

Синус угла, внешнего к 2N

10 Медиану NP

11 Расстояние от точки Р до прямой LK 12 Радиус вписанной окружности 13 ELP, De LK, LF - медиана

11 Медиану КО 12 Расстояние от точки М до прямой NK 13 A KN, B KM

EL: LP=1:4, KD-DL=26 Найти: Р Sled

KA: AN = 4:3, MB: BK = 3:1 Найти: Работу

и Sвк

14 U KP, G PL, T € LK, KU: UP=1:5, 1:5, [14] x, Y и Z - середины сторон MN,

PG: GL=3:13, KT:UK=2:1, Найти: радиус описанной окружности около треугольника GTL и S

КМи NK соответственно Найти: 2X, sinY, tgZ (в треугольнике XYZ),

15 LK, M PL

15 L NM

OK = 36. MO = 27. S 30 Найти: 2MAK sinS

NL=4, KQ = OM Найти: S

[16 16 А, В и С - середины сторон LP. KL и

РК соответственно Найти: ZB. cos. A. tgC (в треугольнике 4BC). S

16 R€NM, D=MK, E € NK

RD L KM DK = 15, ED = 17 Найти: радиус вписанной окружности в треугольник EKD и S denr

17 Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника LPK

[17] 17 Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника MNK

18 Найти отрезки, на которые делит гипотенузу высота в треугольнике LPK

18 18 Найти отрезки, на которые делит гипотенузу высота в треугольнике нужно

​

619,52 км проехала машина в третий день

Пошаговое объяснение:

Вычислим, сколько километров проехала машина за первый день:

52,8 * 4 = 211,2 (км) что составляет 12% всего пути

Вычислим расстояние между городами:

12% - 0,12

211,2 : 0,12 = 1760 (км)

Вычислим, сколько процентов от всего пути было преодолено за два дня поездки:  

12 + (100 - 12) * 60 / 100 = 64,8 % проехала машина за 2 дня

Вычислим, сколько процентов  нужно было проехать за третий день:  

100 - 64,8 = 35,2 %

Вычислим, сколько километров машина проехала за третий день:  

1760 * 35,2 / 100 = 619,52 (км) проехала машина в третий день

Пусть на плоскости изобразили конечное количество точек и всевозможные середины отрезков с вершинами в данных точках.

Ясно, что раз изначальных точек и середин конечное количество, то всевозможные отрезки с вершинами в данных точках и серединах будут иметь конечное количество значений углов с горизонтом в данной плоскости. Благодаря этому всегда можно провести в данной плоскости такую прямую a, которая образует с горизонтом такой угол x, чтобы угол равный 90° - x отличался от всевозможных углов, которые образуют отрезки с концами в данных точках и серединах.  

Таким образом, если спроецировать все точки и середины на данную прямую, то количество полученных различных проекций будет совпадать с количеством всех различных точек и середин в данной плоскости, ведь из-за отличия угла 90° - x данной прямой со всеми остальными углами не существует такой пары точек, что образовывала бы отрезок, который перпендикулярен прямой a, иначе говоря, никакие две точки не спроецируютcя в одну, при этом из теоремы Фалеса следует, что проекции всех середин являются серединами всех отрезков в вершинах полученных проекций точек.

Как видим, мы смогли свести 2-d задачу к 1-d, то есть осталось доказать, что если на некоторой произвольной прямой обозначить n точек, то получим не менее 2n - 3 середин в отрезках в данных точках.

Покажем, что при добавлении на прямую с самого правого края некоторой новой точки, количество середин увеличится как минимум на 2.

Действительно, добавив новую точку ak+1 cправа от самой правой точки ak, получим новую, cамую правую середину b2 отрезка akak+1 (cмотрите рисунок).

Cередину отрезка ak-1ak обозначим b0, а середину отрезка ak-1ak+1 как b1. Очевидно, что  ak-1ak < ak-1ak+1, то есть середина b1 будет правее середины b0, по тем же самым рассуждениям середина b1 будет левее середины b2.

Как видим, имеем 3 различные не совпадающие друг с другом середины b0,b1,b2. Средина b0 была до добавления справа точки ak+1, а значит с добавлением новой точки ak+1 прибавилось как минимум две новые середины b1 и b2. Все остальные середины находятся левее точки b0 и не могут совпадать с данными тремя точками.

Очевидно, что между двумя точками ровно одна середина, тогда учитывая вышеописанный принцип из n точек можно получить как минимум:  1 + 2(n-2) = 2n-3 различных середин, ведь при прибавлении справа новой точки получаем как минимум две новые середины.

Можно добиться того, чтобы можно было получить ровно 2n-3 середин, для этого все расстояния между соседними точками должны  быть одинаковыми (разбиение отрезка на равные части). В этом случае некоторые середины будут совпадать со всеми не крайними точками, которых n-2, а все остальные середины будут серединами отрезков в соседних точках, которых n-1. Всего: n-2 + n-1 = 2n-3 середины.

Что и требовалось доказать.