Поезд отправился в Красноярск из Иркутска в 23 часа 50 мин. (время московское) и прибыл в Красноярск в 10 часов 50 мин. следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
Это известная комбинаторная задача. В данном случае, мы ищем максимум точек. Следовательно, по данному условию автоматически не подходят случаи с наличием пар параллельных прямых или троек (и больше) пересекающихся в одной точке прямых.
Тогда получится, что каждая прямая обязательно пересечется с каждой.
Допустим, у нас всего прямых. Обозначим их цифрами
Тогда 1-я прямая имеет общие точки с прямыми , очевидно, что таких точек
Далее 2-я прямая имеет нерассмотренные общие точки с прямыми , их
...
В конце концов, дойдем до последней нерассмотренной пары прямых, имеющих общую точку - прямые и , здесь всего 1 точка. А нам нужна сумма всех этих количеств, то есть
(на последний значок можно не обращать внимание, если вам не известен, просто так красиво и правильно записывать)
На самом деле, это обычная сумма от 1 до
В школе нередко рассказывают про Гаусса, который придумал, как быстро вычислять такие суммы (рассмотрим сначала суммы от 1 до n). Разбиваем на пары суммируемые числа, набирая с краев (так суммы будут одинаковы) и постепенно проходя к центру:
Все это равно сумме первого и последнего числа, умноженной на количество таких пар (на житейском уровне это выглядит так: 1+10=2+9=...=5+6). Так как чисел , то пар в два раза меньше (пока рассматриваем четное количество чисел), вот и получили результат. Причем работает как для четного, так и для нечетного количества чисел.
Ради интереса разберу пример для нечетного количества чисел:
Очевидно, что в серединке будет число, которое будет равно среднему арифметическому двух крайних чисел, слева и справа от него будет по чисел (например, для суммы из 11-чисел "центральным" будет 6-ое число, а слева и справа от него по 5 чисел) Добавим ему в пару такое же число и вычтем его (сумма не изменится). Тогда пар будет , а сумма крайних такая же . Следуя той же логике, получим
Формула доказана. В нашем случае нужно её перестроить для последнего числа равного . Сделать это несложно: сумма 1-го и последнего числа равна , а для подсчета количества пар условно считаем, что - четное число (для нечетного, как мы увидели, формула та же получается), значит количество таких пар равно . Перемножаем и получаем искомую сумму . Подставив вместо значения 2,3,4,5,6 можно получать ответы на поставленные вопросы.
Если вы знаете про суммы арифметических прогрессий, тогда для
Та же формула.
Если вы знаете комбинаторику, то подумаем вот о чем.
Мы точно знаем, что прямая будет пересекаться с каждой прямой
Общая точка в нашем случае значит, что рассматриваются только две прямые. Тогда суммарное количество таких точек получается путем подсчета количества сочетаний (порядок не важен, 1 3 или 3 1 пересекаются) из объектов (в данном случае прямых) по 2.
Используем формулу для подсчета сочетаний.
Получилась та же формула.
Кстати, а возможна ли вообще такая ситуация, что прямые тройками (четверками и далее) точно не будут пересекаться друг с другом в одной точке?
Очень даже возможна. Нарисуйте окружность и постепенно проводите к ней касательные. Главное, чтобы касательные не касались окружности в одной и той же точке. Так как окружность - множество точек бесконечное по численности, то и касательных, касающиеся окружности в уникальной точке, можно провести бесконечно много (единственное, о чем надо позаботиться - чтобы не было пар параллельных друг другу касательных, но это так же возможно). Рисунок приложу
Чтобы найти процент от числа необходимо данное число умножить на искомый процент и разделить на 100. 1) Найдем число однокомнатных квартир: 300 * 28 : 100 = 84 (квартиры) - однокомнатные. 2) Найдем количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир: 300 - 84 = 216 (квартир) - двухкомнатные и трехкомнатные. 3) Пускай 3-комнатных квартир х, тогда 2-комнатных 1,7х. Составим и решим уравнение: х + 1,7х = 216; 2,7х = 216; х = 216 : 2,7; х = 80 (квартир) - 3-комнатных. 1,7х = 80 * 1,7 = 136 (квартир) - 2-комнатных. ответ: в доме 84 1-комнатных квартиры, 136 2-комнатных и 80 3-комнатных.
На самом деле, числа здесь роли не играют.
Это известная комбинаторная задача. В данном случае, мы ищем максимум точек. Следовательно, по данному условию автоматически не подходят случаи с наличием пар параллельных прямых или троек (и больше) пересекающихся в одной точке прямых.
Тогда получится, что каждая прямая обязательно пересечется с каждой.
Допустим, у нас всего
прямых. Обозначим их цифрами
Тогда 1-я прямая имеет общие точки с прямыми
, очевидно, что таких точек ![(n-1)](/tpl/images/1115/9403/90dc5.png)
Далее 2-я прямая имеет нерассмотренные общие точки с прямыми
, их ![(n-2)](/tpl/images/1115/9403/c1647.png)
...
В конце концов, дойдем до последней нерассмотренной пары прямых, имеющих общую точку - прямые
и
, здесь всего 1 точка. А нам нужна сумма всех этих количеств, то есть
(на последний значок можно не обращать внимание, если вам не известен, просто так красиво и правильно записывать)
На самом деле, это обычная сумма от 1 до![(n-1)](/tpl/images/1115/9403/90dc5.png)
В школе нередко рассказывают про Гаусса, который придумал, как быстро вычислять такие суммы (рассмотрим сначала суммы от 1 до n). Разбиваем на пары суммируемые числа, набирая с краев (так суммы будут одинаковы) и постепенно проходя к центру:
Все это равно сумме первого и последнего числа, умноженной на количество таких пар (на житейском уровне это выглядит так: 1+10=2+9=...=5+6). Так как чисел
, то пар в два раза меньше (пока рассматриваем четное количество чисел), вот и получили результат. Причем работает как для четного, так и для нечетного количества чисел.
Ради интереса разберу пример для нечетного количества чисел:
Очевидно, что в серединке будет число, которое будет равно среднему арифметическому двух крайних чисел, слева и справа от него будет по
чисел (например, для суммы из 11-чисел "центральным" будет 6-ое число, а слева и справа от него по 5 чисел) Добавим ему в пару такое же число и вычтем его (сумма не изменится). Тогда пар будет
, а сумма крайних такая же
. Следуя той же логике, получим
Формула доказана. В нашем случае нужно её перестроить для последнего числа равного
. Сделать это несложно: сумма 1-го и последнего числа равна
, а для подсчета количества пар условно считаем, что
- четное число (для нечетного, как мы увидели, формула та же получается), значит количество таких пар равно
. Перемножаем и получаем искомую сумму
. Подставив вместо
значения 2,3,4,5,6 можно получать ответы на поставленные вопросы.
Если вы знаете про суммы арифметических прогрессий, тогда для![\displaystyle 1+\ldots+(n-1) : a_1=1; a_n=n-1; n'=n-1 \Rightarrow \\ \Rightarrow S_{n'}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n' = \frac{1+n-1}{2}\cdot (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}](/tpl/images/1115/9403/e0b99.png)
Та же формула.
Если вы знаете комбинаторику, то подумаем вот о чем.
Мы точно знаем, что прямая будет пересекаться с каждой прямой
Общая точка в нашем случае значит, что рассматриваются только две прямые. Тогда суммарное количество таких точек получается путем подсчета количества сочетаний (порядок не важен, 1 3 или 3 1 пересекаются) из
объектов (в данном случае прямых) по 2.
Используем формулу для подсчета сочетаний.
Получилась та же формула.
Кстати, а возможна ли вообще такая ситуация, что прямые тройками (четверками и далее) точно не будут пересекаться друг с другом в одной точке?
Очень даже возможна. Нарисуйте окружность и постепенно проводите к ней касательные. Главное, чтобы касательные не касались окружности в одной и той же точке. Так как окружность - множество точек бесконечное по численности, то и касательных, касающиеся окружности в уникальной точке, можно провести бесконечно много (единственное, о чем надо позаботиться - чтобы не было пар параллельных друг другу касательных, но это так же возможно). Рисунок приложу
И напоследок для заданных условий посчитаем:
ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 6; 4) 10; 5) 15.
1) Найдем число однокомнатных квартир:
300 * 28 : 100 = 84 (квартиры) - однокомнатные.
2) Найдем количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир:
300 - 84 = 216 (квартир) - двухкомнатные и трехкомнатные.
3) Пускай 3-комнатных квартир х, тогда 2-комнатных 1,7х. Составим и решим уравнение:
х + 1,7х = 216;
2,7х = 216;
х = 216 : 2,7;
х = 80 (квартир) - 3-комнатных.
1,7х = 80 * 1,7 = 136 (квартир) - 2-комнатных.
ответ: в доме 84 1-комнатных квартиры, 136 2-комнатных и 80 3-комнатных.
Без Х не знаю как, только так могу