характеристическое уравнение для однородного к²-к-6=0; по Виета к=3; к=-2
Общее решение однородного уо.о.=с₁*е³ˣ+с₂е⁻²ˣ
Т.к. к=3 является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения по виду правой части имеет такой вид уч.=а*х*е³ˣ, найдем производные уч.'=ае³ˣ+3хае³ˣ=
ае³ˣ(1+3х); уч.''=3ае³ˣ(1+3х)+3ае³ˣ=6ае³ˣ+9ахе³ˣ
подставим у, у', у'' в уравнение. 6ае³ˣ+9ахе³ˣ-ае³ˣ-3хае³ˣ-6а*х*е³ˣ=5е³ˣ
6а+9ах-а-3ха-6а*х=5
5а=5⇒а=1; уч.=х*е³ˣ. тогда общее решение неоднородного равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е. У*=х*е³ˣ+с₁*е³ˣ+с₂е⁻²ˣ
(эти числа легко обнаружить: сначала можно перебирать числа, сумма цифр которых делится на 3, а само число оканчивается на 4. А потом увидеть закономерность, что к каждому следующему числу просто прибавляется 30, что логично, ведь порядок единиц (4) мы не можем изменять по условию)
Посмотрим, может ли сумма этих чисел быть равна 282. Чтобы число оканчивалось на 2, нужно сложить исходные натуральные числа (оканчивающиеся на 4) 3 раза (3*4=12) или 8 раз (8*4=32). Если сложить 8 чисел из нашего списка, выйдет слишком много. Значит, попробуем выбрать 3 подходящих числа:
(числа выбирались с использованием некоторой логики (в каких пределах они могут лежать), но в остальном навскидку)
По той же логике рассмотрим число 390: для составления такой суммы нам понадобится 5 чисел. Легко заметить, что сумма пяти чисел, начиная с 54, уже даёт больше, чем 390:
54 + 84 + 114 + 144 + 174 = 570.
Значит, единственный возможный вариант – сумма первых 5 чисел. Проверим:
24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420.
Всё равно больше. Значит, ЕСЛИ ЧИСЛА НЕ ПОВТОРЯЮТСЯ, из них нельзя составить 390.
Если повторяются, то:
ответ: если числа не повторяются, то можно составить только 282. Если повторяются, то можно составить оба числа: и 282, и 390.
y"-y'-6y=5e³ˣ
характеристическое уравнение для однородного к²-к-6=0; по Виета к=3; к=-2
Общее решение однородного уо.о.=с₁*е³ˣ+с₂е⁻²ˣ
Т.к. к=3 является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения по виду правой части имеет такой вид уч.=а*х*е³ˣ, найдем производные уч.'=ае³ˣ+3хае³ˣ=
ае³ˣ(1+3х); уч.''=3ае³ˣ(1+3х)+3ае³ˣ=6ае³ˣ+9ахе³ˣ
подставим у, у', у'' в уравнение. 6ае³ˣ+9ахе³ˣ-ае³ˣ-3хае³ˣ-6а*х*е³ˣ=5е³ˣ
6а+9ах-а-3ха-6а*х=5
5а=5⇒а=1; уч.=х*е³ˣ. тогда общее решение неоднородного равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е. У*=х*е³ˣ+с₁*е³ˣ+с₂е⁻²ˣ
Мои рассуждения:
на первый взгляд и 282, и 390 подходят по следующим обязательным признакам:
• оба делятся на 3, как и исходные натуральные числа;
• оба оканчиваются чётным числом, как и должно быть при суммировании чисел, оканчивающихся на чётное число (в нашем случае 4).
Подойдём более конкретно и обнаружим все подходящие натуральные числа в пределах 390:
24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 264, 294, 324, 354, 384.
(эти числа легко обнаружить: сначала можно перебирать числа, сумма цифр которых делится на 3, а само число оканчивается на 4. А потом увидеть закономерность, что к каждому следующему числу просто прибавляется 30, что логично, ведь порядок единиц (4) мы не можем изменять по условию)
Посмотрим, может ли сумма этих чисел быть равна 282. Чтобы число оканчивалось на 2, нужно сложить исходные натуральные числа (оканчивающиеся на 4) 3 раза (3*4=12) или 8 раз (8*4=32). Если сложить 8 чисел из нашего списка, выйдет слишком много. Значит, попробуем выбрать 3 подходящих числа:
(числа выбирались с использованием некоторой логики (в каких пределах они могут лежать), но в остальном навскидку)
По той же логике рассмотрим число 390: для составления такой суммы нам понадобится 5 чисел. Легко заметить, что сумма пяти чисел, начиная с 54, уже даёт больше, чем 390:
54 + 84 + 114 + 144 + 174 = 570.
Значит, единственный возможный вариант – сумма первых 5 чисел. Проверим:
24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420.
Всё равно больше. Значит, ЕСЛИ ЧИСЛА НЕ ПОВТОРЯЮТСЯ, из них нельзя составить 390.
Если повторяются, то:
ответ: если числа не повторяются, то можно составить только 282. Если повторяются, то можно составить оба числа: и 282, и 390.