Найти все а, при каждом из которых система неравенств - вопрос №11776351 от kogoch 01.08.2022 07:44

Question

Математика: Найти все а, при каждом из которых система неравенств имеет 1 решение. система объединяет 2 неравенства: (x-a)^2+y^2 =25a^2 3x+4y =12 в latex:

kogoch · Answer

Первое неравенство это круг , с центром в точке (a;0); R=5a
Второе неравенство это плоскость ограниченной прямой 3x+4y-12

Прямая так же проходит через точки $(4;0)\ U \ (0;3)$ . Можно сказать что радиус будет большим, так как уже известно, что по оси центр будет точка 0, а что бы сама система имела единственное решение, достаточно чтобы это прямая была касательной к окружности.То есть система неравенство переходит в систему уравнений.
$\left \{ {{(x-a)^2+y^2=25a^2} \atop {3x+4y=12}} \right. \\
\\
 \left \{ {{(x-a)^2+(\frac{12-3x}{4})^2=25a^2} \atop {y=\frac{12-3x}{4}}} \right. \\
\\
25x^2-x(32a+72)-384a^2+144=0\\
D=\sqrt{(32a+72)^2+100(384a^2-144)}=0\\
a=-\frac{6}{11}\\
$
То есть когда дискриминант равен 0 , корень один
при a=-6/11
$x=\frac{12}{11}\\
y=\frac{24}{11}\\$

Найти все а, при каждом из которых система неравенств имеет 1 решение. система объединяет 2 неравенства: (x-a)^2+y^2< =25a^2 3x+4y< =12 в latex: