Если функция у(х) имеет все производные до (n+1) -го порядка включительно, то в окрестности точки х=а ( т.е. на некотором интервале. содержащем точку х=а) справедлива формула Тейлора.
Пусть искомая функция у(х) разложена в ряд Тейлора
Два первых коэффициента даны в условии задачи, третий получим при подстановке неизвестных величин в данное уравнение, а следующие два найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения.
Конечно, в степенной ряд ( то есть в ряд Тейлора) раскладывается не само дифференциальное уравнение, а его решение.
В общем виде ряд Тейлора функции y(x) в точке a имеет вид
В нашем случае, естественно, a=1. По условию y(a)=y(1)=1; y'(1)=1.
Дифференциальное уравнение запишем в виде
Продифференцировав дифференциальное уравнение, получаем
Еще раз продифференцируем дифференциальное уравнение:
Если функция у(х) имеет все производные до (n+1) -го порядка включительно, то в окрестности точки х=а ( т.е. на некотором интервале. содержащем точку х=а) справедлива формула Тейлора.
Пусть искомая функция у(х) разложена в ряд Тейлора
у(х)=у(а)+(х-а)у'(а)/1!+(х-а)²y"(а)/2!+...+(x-a)⁽ⁿ⁾у⁽ⁿ⁾(a)/n!+Rₙ(x).
Два первых коэффициента даны в условии задачи, третий получим при подстановке неизвестных величин в данное уравнение, а следующие два найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения.
y"=-(у')²+2; y"(1)=-1+2=1; у'''=-2y'* y'' у'''(1)=-2y'(1)*y"(1)=-2
у⁽⁴⁾=-2y''*y''-2y'*y'''; у⁽⁴⁾(1)=-2(y''(1))²-2y'(1)y'''(1)=-2*1²-2*1*(-2)=-2+4=2
у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-(2*(х-1)³/(2*3))+((х-1)⁴*2)/(2*3*4))+...
или окончательно после упрощения
у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-((х-1)³/3)+((х-1)⁴*/12+...
ответ первые пять членов разложения в ряде Тейлора
у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-((х-1)³/3)+((х-1)⁴*/12+...