Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2x^2y'=x^2+y^2; yy'=2y-x

Показать ответ

Ответ:

gasimovaa44

07.10.2020 10:16

Линейное однородное дифференциальное уравнение
$2x^2y'=x^2+y^2\\y=tx;y'=t'x+t\\2x^2(t'x+t)=x^2+t^2x^2|:x^2\\2\frac{dt}{dx}x+2t=1+t^2\\\frac{2xdt}{dx}=t^2-2t+1|*\frac{dx}{x(t^2-2t+1)}\\\frac{dx}{x}=\frac{2dt}{t^2-2t+1}\\\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-\frac{2}{t-1}+C\\ln|x|+\frac{2}{\frac{y}{x}-1}=C\\ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C$
В результате деления на t^2-2t+1 мы теряем возможное решение: x=y, проверяем:
$y=x\\y'=1\\2x^2y'=x^2+y^2\\2x^2=x^2+x^2\\2x^2=2x^2$
y=x является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C;y=x$
----------
Линейное однородное дифференциальное уравнение
$yy'=2y-x\\y=tx;y'=t'x+t\\tx(t'x+t)=2tx-x|:x\\t(t'x+t)=2t-1\\t'x+t=2-\frac{1}{t}\\\frac{xdt}{dx}=\frac{2t-1-t^2}{t}\\\frac{dx}{x}=-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{(t-1)^2}\\\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{d(t-1)}{t-1}-\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-ln|t-1|+\frac{1}{t-1}+C\\ln|y-x|-\frac{x}{y-x}=C$
В результате деления на t мы теряем возможное решение: y=0, проверяем:
$y=0\\y'=0\\0\neq0-x\\0\neq x$
Нет, y=0 не является решением дифференциального уравнения.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Vladislav1108

05.09.2021 02:35

Реши уравнение 4/20=36/3х...

chelokoshka03

16.01.2023 14:35

Чему равен средний член пропорции 6 : x = 36 : 30?...

Dima340

14.01.2023 03:06

2 Фермер жерінің5 -сін мал1жайылымына қалдырып, -не бақша4өнімдерін екті. Оның мал жайылымынақалдырған жері баққа өнімдерін еккен400 га200 га300 га100 га...

mariagalinskaa3

20.05.2020 07:54

Найдите область значения функции без графика. с решением ...

nastya84756

29.12.2020 06:04

ответьте письменно А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, меньших 20. Установите, какие из следующих высказываний истинныа) 5€Аили...

calimova123

03.03.2022 20:18

Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 21 метр, что в 3 раза больше ширины. сколько потребовалось плитки для облицовки стен и дна бассейна,...

zhenya28081999

03.03.2022 20:18

8064: 8= 1008 откуда берется второй ноль у нас получается 108...

Kam54

03.03.2022 20:18

Решить три : 1 ежедневно из бочки брали 7 вёдер воды.через 9 дней в бочке осталось 37 вёдер воды.сколько вёдер воды было в бочке? 1)сколько всего вёдер воды взяли из...

sviridov971

03.03.2022 20:18

Ожалуйста ! - мистер фокс написал на доске все пятизначные числа, сумма цифр которых равна 33. мистер форд стёр все числа, кроме тех, у которых есть две одинаковые цифры,...

Yarina0311

03.03.2022 20:18

Встае летело 27 аистов. стая разделилась, и количество аистов в стае уменьшилось в 3 раза. сколько аистов осталось в стае?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку