Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным условиям.(с подробным решением по порядку ) у"+4y=0, y(0)=1, y'(0)=2

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным условиям.(с подробным решением по порядку
у" + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=2

Решение:
                                           у" + 4y = 0
Так как  правой части уравнения отсутствует функция данное дифференциальное уравнение второго порядка однородное с постоянными коэффициентами.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

                                           k² + 4 = 0

                                              k²  = -4

Его корни k₁,₂ = 2i. 

То есть в данном случае корни комплексные(k₁=α+βi,k₂=α-βi) и для них α = 0,β =2 Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

                                      y(x) = C₁cos(βx) +C₂sin(βx) = C₁cos(2x) +C₂sin(2x)

Для нахождения функций C₁ и C₂  используем начальные условия:                                    

                                                 y(0)=1; y'(0) = 2

                                y(0) =C₁cos(2*0) + C₂sin(2*0) = C₁  = 1.

Найдем производную функции:

                                     y'(x) = -2C₁sin(2x) + 2C₂cos(2x).

Подставим начальное условие:

                                   y'(0) = -2sin(0) + 2C₁cos(0) = 2С₁ = 2 ⇒С₁ = 1.

Следовательно частное решение дифференциального уравнения:

                                           y(x) = cos(2x) + sin(2x)

Проверка: y'(x) = -2sin(2x) + 2cos(2x)

y''(x) = -4cos(2x) - 4sin(2x)

Подставляем в исходное уравнение

y'' + 4y = -4cos(2x) - 4sin(2x) + 4(cos(2x)+sin(2x)) = 0

ответ: y(x) = cos(2x) + sin(2x)