Найдите условный экстремум функции x^2+y^2+8x-10y-3 при условии -3x-2y-15=0
В ответ запишите значение функции в точке экстремума.

Найдём катеты: а = с·cosα, b = c·sinα.

При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R = c·cosα·sinα

Высота конуса, образующей которого является катет а = с·cosα, равна

h₁ = a·cosα = с·cosα·cosα = c·cos²α

Высота конуса, образующей которого является катет b = c·sinα, равна

h₂ = a·sinα = с·sinα·sinα = c·sin²α

Объём 1-го конуса:

V₁ = 1/3 πR²·h₁ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α

Объём 2-го конуса:

V₂ = 1/3 πR²·h₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α

Объём всего тела вращения:

V = V₁ + V₂  = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α + 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α

 = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·(cos²α + sin²α) = 1/3 ·π·c³·(cosα·sinα)² =

= 1/12 ·π·c³·(4cos²α·sin²α) = 1/12 ·π·c³·sin²2α

интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2))=ln(e^x+x^2)

(ln(e^x+x^2))'=1/(e^x+x^2)*(e^x+2x).

Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости необходимо найти

вторую производную. И определить ее знак на интервале.

Если во всех точках интервала вторая производная меньше нуля, кривая выпукла,

если производная больше нуля кривая вогнута.

Пример

y=2-x^2

y''=-2<0 для всех х следовательно кривая обращена выпуклостью вверх.

Пример

y=x^3

y''=6x

при x<0 y''<0 кривая выпукла

при x>0 y''>0 кривая вогнута.

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба.