a) это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительной производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
Переходя к определению дифференциала
- уравнение с разделёнными переменными
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Получили общий интеграл.
Найдем решение задачи Коши
- частный интеграл.
б)
Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, относится к первому виду со специальной правой части.
Нужно найти: уо.н. = уо.о. + уч.н., где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решением неоднородного уравнения.
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть , тогда получаем
Тогда общее решением однородного уравнения примет вид:
2) Нахождение частного решения.
Рассмотрим функцию
Сравнивая с корнями характеристического уравнения и принимаем во внимания что n=1, то частное решением будем искать в виде:
yч.н. =
Предварительно вычислим 1 и 2 производные функции
Подставим в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при степени х
Частное решение будет иметь вид: уч.н. = 2х + 2
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
уо.н. =
Частное решение: уo.н. =
Пусть х кубометров в час - производительность первого насоса, тогда (х - 5) кубометров в час - производительность второго насоса. 30 мин = 0,5 ч. Уравнение:
50/(х-5) - 45/х = 0,5
50 · х - 45 · (х - 5) = 0,5 · х · (х - 5)
50х - 45х + 225 = 0,5х² - 2,5х
5х + 225 = 0,5х² - 2,5х
0,5х² - 2,5х - 5х - 225 = 0
0,5х² - 7,5х - 225 = 0
D = b² - 4ac = (-7,5)² - 4 · 0,5 · (-225) = 56,25 + 450 = 506,25
√D = √506,25 = 22,5
х₁ = (7,5-22,5)/(2·0,5) = (-15)/1 = - 15 (не подходит)
х₂ = (7,5+22,5)/(2·0,5) = 30/1 = 30
ответ: 30 м³ воды ежечасно перекачивает первый насос.
Проверка:
50/(30-5) = 50/25 = 2 (ч) - время работы второго насоса
45/30 = 1,5 (ч) - время работы первого насоса
2 - 1,5 = 0,5 (ч) = 30 (мин) - разница во времени
a) это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительной производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
Переходя к определению дифференциала
- уравнение с разделёнными переменными
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Получили общий интеграл.
Найдем решение задачи Коши
- частный интеграл.
б)
Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, относится к первому виду со специальной правой части.
Нужно найти: уо.н. = уо.о. + уч.н., где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решением неоднородного уравнения.
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть , тогда получаем
Тогда общее решением однородного уравнения примет вид:
2) Нахождение частного решения.
Рассмотрим функцию
Сравнивая с корнями характеристического уравнения и принимаем во внимания что n=1, то частное решением будем искать в виде:
yч.н. =
Предварительно вычислим 1 и 2 производные функции
Подставим в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при степени х
Частное решение будет иметь вид: уч.н. = 2х + 2
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
уо.н. =
Найдем решение задачи Коши
Частное решение: уo.н. =
Пусть х кубометров в час - производительность первого насоса, тогда (х - 5) кубометров в час - производительность второго насоса. 30 мин = 0,5 ч. Уравнение:
50/(х-5) - 45/х = 0,5
50 · х - 45 · (х - 5) = 0,5 · х · (х - 5)
50х - 45х + 225 = 0,5х² - 2,5х
5х + 225 = 0,5х² - 2,5х
0,5х² - 2,5х - 5х - 225 = 0
0,5х² - 7,5х - 225 = 0
D = b² - 4ac = (-7,5)² - 4 · 0,5 · (-225) = 56,25 + 450 = 506,25
√D = √506,25 = 22,5
х₁ = (7,5-22,5)/(2·0,5) = (-15)/1 = - 15 (не подходит)
х₂ = (7,5+22,5)/(2·0,5) = 30/1 = 30
ответ: 30 м³ воды ежечасно перекачивает первый насос.
Проверка:
50/(30-5) = 50/25 = 2 (ч) - время работы второго насоса
45/30 = 1,5 (ч) - время работы первого насоса
2 - 1,5 = 0,5 (ч) = 30 (мин) - разница во времени