P(x;y)dx+Q(x;y)dy
является полным дифференциалом, если
∂P/∂y=∂Q/∂x.
∂P/∂y=((x+y)/(xy))`y=((x+y)`y·(xy)–(xy)`y·(x+y))/(xy)2= –x2/(xy)2= – 1/y2
∂Q/∂x=(1/y2)·(y–x)`x=(1/y2)·(–1)=–1/y2
∂P/∂y=∂Q/∂x
Данное уравнение – уравнение в полных дифференциалах
Это значит
∂U/∂x=P(x;y)
∂U/∂y=Q(x;y)
Зная, частные производные можем найти U(x;y)
U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=
=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)·x+(1/y)·yln|x|+ φ (y)=
=(x/y)+ln|x|+ φ(y)
Находим
∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`y=x·(1/y)`+0+ φ `(y)= (–x/y2)+φ `(y)
Так как
то
(–x/y2)+φ `(y) =(y–x)/y2;
⇒
φ `(y)=1/y
φ(y)=ln|y|+C
U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C
О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x·y|+C
1)-х=-7,2÷(-1)
х=7,2
проверка:
-7,2=-7,2
2)-а=-3/16
а=3/16
-3/16=-3/16
3)-у=-2-(-0,8)
-у=-2+0,8
-у=-1,2÷(-1)
у=1,2
-1,2=-2-(-0,8)
-1,2=-2+0,8
-1,2=-1,2
4)z+1,4=-1
z=-1-1,4
z=-2,4
-2,4+1,4=-1
-1=-1
5)1 2/9-x=2/3
-x=2/3-1 2/9
-x=6/9-11/9
-x=-5/9÷(-1)
x=5/9
1 2/9-5/9=2/3
2/3=2/3
6)b-5,6=-4
b=-4+5,6
b=1,6
7)-0,6-(-y)=-0,4
-0,6+y=0,4
y=0,4+0,6
y=1
8)3,1+(-n)=-2 4/5
3,1-n=-2 4/5
-n=-2 4/5-3,1=-2,8-3,1
-n=-5,9
n=5,9
9)-x-(-1,2)=-0,8
-x+1,2=-0,8
-x=-1,2-0,8
-x=-2
x=2
Пошаговое объяснение:
P(x;y)dx+Q(x;y)dy
является полным дифференциалом, если
∂P/∂y=∂Q/∂x.
∂P/∂y=((x+y)/(xy))`y=((x+y)`y·(xy)–(xy)`y·(x+y))/(xy)2= –x2/(xy)2= – 1/y2
∂Q/∂x=(1/y2)·(y–x)`x=(1/y2)·(–1)=–1/y2
∂P/∂y=∂Q/∂x
Данное уравнение – уравнение в полных дифференциалах
Это значит
∂U/∂x=P(x;y)
∂U/∂y=Q(x;y)
Зная, частные производные можем найти U(x;y)
U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=
=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)·x+(1/y)·yln|x|+ φ (y)=
=(x/y)+ln|x|+ φ(y)
Находим
∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`y=x·(1/y)`+0+ φ `(y)= (–x/y2)+φ `(y)
Так как
∂U/∂y=Q(x;y)
то
(–x/y2)+φ `(y) =(y–x)/y2;
⇒
φ `(y)=1/y
φ(y)=ln|y|+C
U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C
О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x·y|+C
1)-х=-7,2÷(-1)
х=7,2
проверка:
-7,2=-7,2
2)-а=-3/16
а=3/16
проверка:
-3/16=-3/16
3)-у=-2-(-0,8)
-у=-2+0,8
-у=-1,2÷(-1)
у=1,2
проверка:
-1,2=-2-(-0,8)
-1,2=-2+0,8
-1,2=-1,2
4)z+1,4=-1
z=-1-1,4
z=-2,4
проверка:
-2,4+1,4=-1
-1=-1
5)1 2/9-x=2/3
-x=2/3-1 2/9
-x=6/9-11/9
-x=-5/9÷(-1)
x=5/9
проверка:
1 2/9-5/9=2/3
2/3=2/3
6)b-5,6=-4
b=-4+5,6
b=1,6
7)-0,6-(-y)=-0,4
-0,6+y=0,4
y=0,4+0,6
y=1
8)3,1+(-n)=-2 4/5
3,1-n=-2 4/5
-n=-2 4/5-3,1=-2,8-3,1
-n=-5,9
n=5,9
9)-x-(-1,2)=-0,8
-x+1,2=-0,8
-x=-1,2-0,8
-x=-2
x=2
Пошаговое объяснение: