На следующий год запланировали подготовить дистанцию А, которая на 20% длиннее нынешней короткой дистанции, и дистанцию Б, которая на 30% короче нынешней длинной дистанции, но более сложная технически. Вычисли протяженность планируемых дистанций.

Наибольшим общим делителем нескольких чисел называется  наибольшее число, на которое делятся эти числа без остатка.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители и найти произведение их совместных простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.
Например, НОД (105; 150 и 315) = 3 * 5 = 15 - наибольший общий делитель
105 = 3 * 5 * 7                           105 : 15 = 7
150 = 2 * 3 * 5 * 5                      150 : 15 = 10
315 = 3 * 3 * 5 * 7                       315 : 15 = 21

К сожалению я не могу нарисовать Вам чертёж. Нет необходимых технических средств. Но думаю исходный чертёж вы сделаете и сами. Итак точка М Лежит на стороне ВС треугольника АВС и через неё проходит перпендикуляр к АС. Он проходит также через центр окружности. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с АС -К. О-центр окружности Построим отрезки ОА и ОС Они являются радиусами окружности, а значит равны. Рассмотрим ΔСОМ и ΔАОМ В них ОА=ОС, ОМ-общая . А теперь вернёмся к ΔАОС  он равнобедренный, т.к.ОА=ОС, из вершины проведён перпендикуляр к основанию, значит ОК высота, а по свойству равнобедренного треугольника высота является биссектрисой значит ∠АОК=∠СОК .Угол АОМ смежный с углом АОК , а Угол СОМ смежный с углом СОК .Если углы равны, то и смежные углы равны. Получаем в треугольниках АОМ и СОМ две стороны и угол меду ними равны, а значит треугольники равны по второму признаку, отсюда следует, что АМ=СМ