На першій полнці було в 4 рази менше книжок, ніж на другій. Коли на першу полю поклали 17 книжок, аз другої взяли 25, то на обох полицях стало книжок порівну. Скільки книжок було на кожній полнці спочатку?
Рассмотрим каждое такое число. Сумма его цифр равна 1+2+3+4+5+6+7=28 28 дает остаток 1 при делении на 9, значит, всё число будет давать остаток 1 при делении на 9. Теперь поймем, сколько у нас таких чисел. На первое место можно поставить одну из 7 цифр на второе - 6, третье - 5 и т.д. Всего Значит, всего чисел 5040. 5040 делится на 9, значит, количество чисел делится на 9. Тогда, мы можем разбить все числа на группы из 9 чисел (не имеет значения, как). В каждой группе каждое число дает остаток 1, в группе чисел 9. Тогда сумма чисел в группе будет давать остаток 9, т.е. будет делиться на 9. Тогда, каждая группа будет делиться 9, значит, будет делиться и их сумма. Что и требовалось доказать.
1) Здесь нужны сочетания с учетом порядка, то есть размещения.
Потому что тройка (Иванов староста, Петров казначей, Смирнов профорг) и тройка (Иванов профорг, Петров староста, Смирнов казначей) - разные.
2) Вынимаем 1 шар из 35. Вероятность, что он черный, p1 = 15/35 = 3/7.
Пусть 1 шар был черный. Тогда, чтобы он остался один, надо вынуть 2 белых. Вероятность этого p2 = 20/34*19/33 = 190/561.
Общая вероятность P(1) = p1*p2 = 3/7*190/561 = 570/3927 = 190/1309.
Пусть 1 шар был белый, вероятность этого q1 = 4/7. Вынимаем 2 шар из 34.
Вероятность, что он будет черным, p3 = 15/34, а белым q3 = 19/34.
Пусть 1 шар белый, а 2 черный. Вероятность этого p4 = 4/7*15/34 = 30/119.
Тогда вероятность, что 3 шар из 33 будет белым, равна p5 = 19/33.
Общая вероятность P(2) = p4*p5 = 30/119*19/33 = 190/1309.
Пусть 1 и 2 шары белые. Вероятность этого p6 = 4/7*19/34 = 38/119.
Тогда вероятность вынуть 3 из 33 черный p7 = 15/33 = 5/11.
Общая вероятность P(3) = p6*p7 = 38/119*5/11 = 190/1309.
Итоговая вероятность
P = P(1) + P(2) + P(3) = 190/1309 + 190/1309 + 190/1309 = 570/1309.
Это если нужен ТОЛЬКО 1 черный шар. Если же нужен ХОТЯ БЫ 1 черный, то всё намного проще.
Вероятность вынуть 3 белых шара
Q = 20/35*19/34*18/33 = 2/7*19/17*6/11 = 228/1309
Вероятность вынуть ХОТЯ БЫ один черный шар
P = 1 - Q = 1 - 228/1309 = 1081/1309
3) Из 10 билетов 2 выигрышных и 8 невыигрышных.
Вероятность, что мы вынем 5 невыигрышных билетов
Q = 8/10*7/9*6/8*5/7*4/6 = 2/9.
Вероятность, что хотя бы 1 билет окажется выигрышным
P = 1 - Q = 1 - 2/9 = 7/9
28 дает остаток 1 при делении на 9, значит, всё число будет давать остаток 1 при делении на 9.
Теперь поймем, сколько у нас таких чисел.
На первое место можно поставить одну из 7 цифр на второе - 6, третье - 5 и т.д.
Всего
Значит, всего чисел 5040. 5040 делится на 9, значит, количество чисел делится на 9. Тогда, мы можем разбить все числа на группы из 9 чисел (не имеет значения, как). В каждой группе каждое число дает остаток 1, в группе чисел 9. Тогда сумма чисел в группе будет давать остаток 9, т.е. будет делиться на 9. Тогда, каждая группа будет делиться 9, значит, будет делиться и их сумма. Что и требовалось доказать.