На основании ad трапеции abcd отмечена точка f. оказалось, что ab = bf и fc=cd. радиусы окружностей, вписанных в треугольники abf,fcd,bfc равны 3, 8 и 6 соответственно. найдите отношение af: fd.

Введем обозначения: H - высота трапеции и всех трех треугольников;
остальные - по рисунку.
Площади этих треугольников запишем двумя как половина произведения основания на высоту и как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:
S (ABF) = 1/2 2a H = aH = 3(a+c)
S (FCD) = 1/2 2b H = bH = 8(b+d)
S (BFC) = 1/2 (a+b)H = 1/2(a+b+c+d)*6

aH = 3a + 3c                                (1)                  это система
bH = 8b + 8d                                (2)
1/2(a+b)H = 3a + 3b + 3c + 3d  (3) 

два первых уравнения сложим:
(a+b)H = 3a + 8b + 3c + 8d
и вычтем из полученного третье:
1/2 (a+b) = 5b + 5d
b+d = (a+b)H/10
а из второго: b+d = bH/8, приравняем:
(a+b)H/10 = bH/8
(a+b)/5 = b/4
4(a+b) = 5b
4a = b, т.е. a/b = 1/4, значит и AF:FD = 1/4 
Проще не придумалось:)