На некотором острове все местные жители лжецы или - вопрос №20810897 от HOHLOFF 02.06.2022 21:17

Question

Математика: На некотором острове все местные жители лжецы или рыцари.Рыцари всегда говорят правду,а лжецы всегда лгут.В ряд выстроились 2022 жителя,и одного из них зовут петя .Каждый в ряду,кроме Пети заявил: «между мной и петей стоят ровно 3 лжеца». Какое наименьшее число лжецов может быть в этом ряду?Какое наибольшее число лжецов может быть в этом ряду СКОРЕЕ

HOHLOFF · Answer

Связь между радиусом вписанной окружности r и радиусом описанной окружности R определяется формулой:
$r=Rcos \frac{180^0}{n}$ , где n- число сторон многоугольника.
Отсюда их соотношение равно:
$\frac{r}{R}=cos \frac{180^0}{n}.$
Отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов:
$\frac{Sv}{So} = \frac{r^2}{R^2}=cos^2 \frac{180^0}{n} .$
По условию задачи оно равно 0,75 или 3/4.
Получаем $cos \frac{180^0}{n} = \sqrt{ \frac{3}{4} } = \frac{ \sqrt{3} }{2} .$
Значение √3/2 соответствует углу 30°.
Значит, 180°/n = 30°, отсюда n = 180/30 = 6.
Если периметр многоугольника равен 12, а число сторон равно 6, то длина стороны составит a = 12/6 = 2 см.
Радиус описанного круга для шестиугольника R = a = 2 см.
Радиус вписанного круга r = a*(√3/2) = 2*(√3/2) = √3 см.