Может ли запись квадрата натурального числа оканчиваться комбинацией цифр 15?

нет конечно, только на 25

Любое число, оканчивающееся на пять, можно представить в следующем виде 10 * x + 5. Рассмотрим, что будет, если возвести данное выражение в квадрат:

(10 * x + 5)2 = 100x2 + 50x + 50x + 25 = 100x2 + 100x + 25 = 100 * x * (x + 1) + 25

Умножение на 100 и прибавление 25 по смыслу то же самое, что приписывание 25 к результату умножения x и x+1.