Войти Регистрация Спроси ai-bota

Может ли число вида 1999^n-1 заканчиваться на 1999 нулей? ответ обязательно обосновать

Показать ответ

Ответ:

Irakyn

14.07.2020 23:30

Может.

Подготовительный факт: рассмотрим бином Ньютона (a, b - целые числа)
$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$
Преобразуем:
$(a+b)^n=C_n^0b^n+C_n^1ab^{n-1}+\sum\limits_{k=2}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}=\\=b^n+nab^{n-1}+a^2\sum\limits_{k=2}^{n}C_n^ka^{k-2}b^{n-k}=a^2\cdot A+nab^{n-1}+b^n$
"А" в последнем равенстве тоже целое.

Теперь можно приступить к решению. Рассмотрим последовательность $x_n=1999^{10^n}$
$x_1=(2000-1)^{10}=2000^2\cdot a_1-10\cdot2000+1=10^4\cdot b_1+1\\
x_2=(10^4\cdot b_1+1)^{10}=10^8\cdot a_2+10^5\cdot b_1+1=10^5\cdot b_2+1\\
x_3=(10^5\cdot b_2+1)^{10}=10^{10}\cdot a_3+10^6\cdot b_2+1=10^6\cdot b_3+1$
Все числа ai, bi - целые, явный вид которых не важен.
И вообще, если
$x_k=10^{k+3}b_k+1\\
x_{k+1}=10^{2k+6}a_{k+1}+10^{k+4}b_k+1=10^{k+4}\cdot b_{k+1}+1$

Итак, 1999^(10^k) - 1 кончается не менее, чем на (k + 3) нуля. Тогда, выбрав k = 1996, получаем желаемое.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Cociheyuajnqhvedoxbs

25.06.2020 02:49

Решите (4 3/5-2 1/5): 1 1/10, 1 9/35: (1 1/5+2/3), (11 5/8+7 1/6): 3 5/12...

frausadykova20

16.04.2021 07:54

Какими буквами обозначаются длина и ширина прямоугольника?...

leg3

16.04.2021 07:54

Мне нужны ! напишите мне хотя бы небольшое сочинение на тему войны в долаково ,которая упоминается в рассказе республика ц1ераг1а (написан зязиков хусен)1918 год хоть...

SOV20

16.04.2021 07:54

Круговая диаграмма отражает результаты опроса, проведенного в классе на тему «какой музыкальный инструмент вы любите слушать? ». в опросе участвовали 24 учеников....

evgendm555

16.04.2021 07:54

Площадь прямоугольника равна 600 м квадратных а одна из его сторон равна 120 м чему равна другая его сторона...

anastasiyanast29

16.04.2021 07:54

1) ширина и длина прямоугольника относятся как 4 : 9 а его периметр равен 1560 дм найдите периметр квадрата если его стороны составляет 30% ширины данного прямоугольника...

Grizman7

16.04.2021 07:54

Вбочке было 836 л кваса. за первый час продали 135 л, что на 25 л больше, чем продали за второй час. сколько литров кваса осталось в бочке?...

piotrewch

16.04.2021 07:54

Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5л как с этих сосудов налить из водопроводного крана 4литра вотды...

superrada

28.04.2023 18:30

Сисследованием функции: y=-x^3+3x-2...

1234дмит232323

18.05.2023 03:54

Длины сторон треугольника пропорциональны числам 4,7 и 14.найди разность большей и меньшей сторон треугольника,если его периметр равен 75 см...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку