Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 руб. сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб за аршин, а чёрное 3 руб

Выразим через x - кол-во аршин черного сукна и через у - кол-во аршин синего сукна
Теперь можем составить систему уравнений:
x + y = 138
3x + 5y= 540

Решаем ее методом подстановки,для этого преобразуем первое уравнение и получаем следующую систему:
x=138 - y
3x + 5y= 100

Теперь во второе уравнение подставим вместо х полученное выражение и найдём значение у:
3*(138-у)+5у=540
414-3у+5у=540
2у=540-414
2у=126
у=63

Теперь полученное значение у подставим в первое уравнение системы и найдём значение х :
х=138 - 63
х=75

ответ:купил 75 аршин чёрного сукна и 63 аршины синего сукна.

Проверим:75*3+63*5=540
225+315=540
540=540.

Предположим, что все 138 аршин составляет черное сукно.
Тогда его стоимость должна быть:
                         138 * 3 = 414 (руб.)
Очевидно, что оставшиеся деньги потрачены на синее сукно:
                          540 - 414 = 126 (руб.)
Разница в цене синего и черного сукна:
                          5 - 3 = 2 (руб.)
Тогда синего сукна купили:  
                          126 : 2 = 63 (аршин)
Черного сукна купили:
                          138 - 63 = 75 (аршин)

Проверим:    63*5 + 75*3 = 540
                         315 + 225 = 540
                             540 = 540

ответ: куплено 63 аршин синего сукна и 75 аршин черного.