Клетчатый шестиугольник, составленный из двух полосок ширины 1, пересекающихся по одной клетке, назовём уголком. Докажите, что произвольный клетчатый квадрат без любой клетки можно разбить на клетчатые уголки с различным нечётным числом клеток. Сколько существует таких разбиений для квадрата 5×5 с вырезанной центральной клеткой?
У нас 4^n-1 клеток. докажем, что 4^n-1 делится на 3
При n=1 4-1=3 - делится
Пусть при некотором n=k 4^k-1 делится на 3
докажем, что в этом случае 4^(k+1)-1 делится на 3
4^(k+1)-1=4×4^k-1=(3+1)×4^k-1=3×4^k+(4^k-1) первоеслагаемое кратно 3, второе делится на 3 по предположению, сл-но 4^(k+1)-1 делится на 3 для любого n