Каждый из 11 учащихся придумал по 5 натуральных чисел. Оказалось, что каждое число придумано не менее чем тремя учащимися. Какое наибольшее количество различных чисел могло быть придумано?

Трапеция АВСД, нижнее основание АД, верхнее основание ВС, углы при нижнем основании А и Д - острые, а при верхнем В и С - тупые.
АМ - биссектриса <А, значит <ВАМ=<ДАМ
ДМ - биссектриса <Д, значит <СДМ=<АДМ
Удаленность точки от прямой измеряется длиной перпендикуляра на прямую.
ΔАВМ и ΔСДМ - тупоугольные, значит их высоты, проведенные из острой вершины, попадают не на сторону этого треугольника, а на ее продолжение.
Т.е. высота ΔАВМ, опущенная из вершины М, лежит на продолжении стороны АВ - обозначим высоту МК.
Аналогично высота ΔСДМ, опущенная из вершины М, лежит на продолжении стороны СД - обозначим высоту МР.
Также опустим из точки М высоту ΔАМД - обозначим высоту МН.
Нужно доказать МК=МР=МН.
ΔАВМ=ΔАНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (АМ-общая, <КАМ=<НАМ), значит МК=МН
ΔАКМ=ΔАНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (АМ-общая, <КАМ=<НАМ), значит МК=МН
ΔДРМ=ΔДНМ - прямоугольные треугольники, равные по гипотенузе и острому углу (ДМ-общая, <РДМ=<НДМ), значит МР=МН.
Следовательно, МК=МР=МН.

Построим высоту к основанию, она делит исходный треугольник на два равных прямоугольных. Причем нижний катет каждого из них равен произведению половины основания исходного треугольника на косинус угла а (в равнобедренном треугольнике углы при основании равны). Т.о. основание исходного треугольника y = 2*x*cos(a), где x - длина каждой из боковых сторон. Т.о. периметр треугольника равен x + x + 2*x*cos(a) =  2x*(1 + cos(a)) = 2*p
x = p/(1 + cos(a)) - длина каждой из боковых сторон
y = (2*p*cos(a))/(1 + cos(a))
Далее можно найти ту самую высоту через синус угла при основании, но ради разнообразия предлагаю использовать формулу Герона:
S = p * (p - x) * (p - x) * (p - y)
Подставлять с вашего позволения x и y туда я не буду, потому что в тексте это делать неудобно.