Какое существует наименьшее простое число `p` такое, что p^3 + 4*p^2 + 4 * p имеет ровно 30 положительных делителей

43

Пошаговое объяснение:

Я пишу с телефона, поэтому для удобства пусть

p2 = p^2, p3 = p^3

p3 + 4p2 + 4p = p(p2 + 4p + 4) = p(p + 2)^2

p = 2 не подходит

Поэтому p > 2 => gcd(p, p + 2) = 1

Функция количества делителей мультипликативная, значит нам осталось найти только такое минимальное p, что (p + 2)^2 имеет 15 делителей

При этом 15 = 3 * 5

То есть наше число (p + 2)^2 = a^2 * b^4 для некоторых простых чисел a и b

То есть

p + 2 = a * b^2

то есть p = a * b^2 - 2

для некоторых различных простых чисел a и b

Заметим также, что и a, и b, должны быть нечетными, иначе мы получим, что p тоже четное(чего быть не моет, потому что p - просто большее двух)

Тогда попробуем два минимальных простых а и b

Пусть a = 5, b = 3

Тогда p = 5 * 9 - 2 = 43 - - действительно простое

Легко понять, что с ростом a или b p только увеличивается, и что лучше, чтобы b было меньше a

Значит, p = 43 действительно минимальное такое простое.