Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1. Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1, BC и B1C1, а угол ABC равен углу A1B1C1. Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC. При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 - со стороной BС. (В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему "перевернутый" треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1 относительно произвольной прямой .) Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства AB= A1B1, ÐBAC = ÐB1A1C1, ÐАВС= ÐА1В1С1. Поступим так же, как и в предыдущем случае. Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно "перевернуть обратной стороной". Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1 имеют место равенства АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1. Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B. Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2. В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)
2.130. 120 + 165 = 285 кВт - расход электроэнергии в сутки 285 * 12 = 3420 кВт - расход электроэнергии за год 3420 * 2,4 = 8208 руб. - стоимость электроэнергии за год при однотарифном счётчике 120 * 12 = 1440 кВт - расход электроэнергии в дневное время за год 1440 * 2,4 = 3456 руб. - стоимость электроэнергии за год по дневному тарифу 165 * 12 = 1980 кВт - расход электроэнергии в ночное время за год 1980 * 0,6 = 1188 руб. - стоимость электроэнергии за год по ночному тарифу 3456 + 1188 = 4644 руб. - стоимость электроэнергии за год при двухтарифном счётчике 8208 - 4644 = 3564 руб. - на столько больше пришлось бы заплатить, если бы не поменялся счётчик Выражение: (120 + 165) * 12 * 2,4 - (120 * 2,4 + 165 * 0,6) * 12 = 3564 ответ: 3564 руб.
2.131. 2 * 2600 = 5200 руб. - стоимость двух кубометров пеноблоков 2 * 200 = 400 руб. - стоимость двух мешков цемента 5200 + 400 = 5600 руб. - стоимость фундамента из пеноблоков 2 * 640 = 1280 руб. - стоимость двух тонн щебня 20 * 200 = 4000 руб. - стоимость 20 мешков цемента 1280 + 4000 = 5280 руб. - стоимость бетонного фундамента Выражение: (2 * 2600 + 2 * 200) > (2 * 640 + 20 * 200) ответ: 5280 руб. - наиболее дешёвый вариант (бетонный фундамент)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.
Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1,
BC и B1C1,
а угол ABC равен углу A1B1C1.
Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC.
При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 - со стороной BС. (В случае необходимости вместо треугольника A1B1C1 можно рассматривать равный ему "перевернутый" треугольник, т. е. треугольник, симметричный A1B1C1 относительно произвольной прямой .)
Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства
AB= A1B1,
ÐBAC = ÐB1A1C1,
ÐАВС= ÐА1В1С1.
Поступим так же, как и в предыдущем случае. Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно "перевернуть обратной стороной".
Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1
имеют место равенства АВ = А1В1,
ВС = В1С1,
СА = С1А1.
Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B.
Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC.
Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2.
В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)
120 + 165 = 285 кВт - расход электроэнергии в сутки
285 * 12 = 3420 кВт - расход электроэнергии за год
3420 * 2,4 = 8208 руб. - стоимость электроэнергии за год при однотарифном счётчике
120 * 12 = 1440 кВт - расход электроэнергии в дневное время за год
1440 * 2,4 = 3456 руб. - стоимость электроэнергии за год по дневному тарифу
165 * 12 = 1980 кВт - расход электроэнергии в ночное время за год
1980 * 0,6 = 1188 руб. - стоимость электроэнергии за год по ночному тарифу
3456 + 1188 = 4644 руб. - стоимость электроэнергии за год при двухтарифном счётчике
8208 - 4644 = 3564 руб. - на столько больше пришлось бы заплатить, если бы не поменялся счётчик
Выражение: (120 + 165) * 12 * 2,4 - (120 * 2,4 + 165 * 0,6) * 12 = 3564
ответ: 3564 руб.
2.131.
2 * 2600 = 5200 руб. - стоимость двух кубометров пеноблоков
2 * 200 = 400 руб. - стоимость двух мешков цемента
5200 + 400 = 5600 руб. - стоимость фундамента из пеноблоков
2 * 640 = 1280 руб. - стоимость двух тонн щебня
20 * 200 = 4000 руб. - стоимость 20 мешков цемента
1280 + 4000 = 5280 руб. - стоимость бетонного фундамента
Выражение: (2 * 2600 + 2 * 200) > (2 * 640 + 20 * 200)
ответ: 5280 руб. - наиболее дешёвый вариант (бетонный фундамент)