Из Москвы в Самару вышел первый поезд, а за ним через 5 часов отправился второй. Оба поезда двигались с постоянными скоростями и прибыли в Самару одновременно. Найти суммарную скорость поездов, если известно, что, когда первый поезд середину пути, второй отставал от него на 250 км, а за 1 час до прибытия – на 40км
ответ: 160 км/ч
Пошаговое объяснение:
Поскольку за час до прибытия второй отставал на 40 км и при этом они прибыли одновременно, то разность скоростей поездов равна:
40 км/ч. А путь от Москвы до Самары равен S.
Пусть скорость первого поезда равна x, тогда скорость второго равна x+40
Второй стартовал через 5 часов после первого, тогда поскольку за первые 5 часов первый поезд путь: 5x, тогда ему осталось проехать путь: S - 5x, но раз поезда пришли одновременно, то
S/(x+40) = (S-5x)/x
S/x - S/(x+40) = 5 км.
S = 5/( 1/x - 1/(x+40) ) = x*(x+40)/8
когда первый поезд середину пути, второй отставал от него на 250 км.
Первый середину пути за время:
S/(2x), тогда второй поезд к этому моменту ехал время:
S/(2x) - 5, причем оно проехал путь: S/2 - 250.
Таким образом:
(S/2 - 250)/(x+40) = S/(2x) - 5
S/x - (S-500)/(x+40) = 10
(x+40)/8 - (x*(x+40)/8 - 500)/(x+40) = 10
x+40 - (x*(x+40) - 4000)/(x+40) = 80
(x + 40)^2 - x^2 - 40x + 4000 = 80x + 3200
40x = 5600 - 3200 = 2400
x = 2400/ 40 = 60 км/ч
Скорость второго:
x+40 = 100 км/ч
Суммарная скорость: 160 км/ч
х - скорость первого поезда
у - скорость второго поезда.
{ S/х = S/y + 5
{ (S/2)/х = (S/2 - 250)/у
{ (S/x - 1)x - (S/у - 1)у = 40
{ Sу = Sх + 5ху
{ (S/2)у = (S/2 - 250)х
{ S - х - (S - у) = 40
{ Sу = Sх + 5ху
{ Sу/2 = Sх/2 - 250х
{ S - х - (S - у) = 40
{ Sу - Sх = 500х
{ S - х - (S - у) = 40
{ 5ху = 500х
{ S - х - S + у) = 40
{ у = 100 км/ч - скорость второго поезда.
{ - х + у = 40
х = у - 40
х = 100 - 40
х = 60 км/ч - скорость первого поезда.
2) 100 + 60 = 160 км/ч - суммарная скорость поездов.
ответ: 140 км/ч
Проверка:
1) S/х = S/y + 5
S/х - S/у = 5
S/60 - S/100 = 5
5S/300 - 3S/300 = 5
2S/300 = 5
S = 1500/2 = 750 км - расстояние между Москвой и Самарой.
2) (S/x - 1)x - (S/у - 1)у =
= (750/60 - 1)•60 - (750/100 - 1)•100 =
= 750 - 60 - (750 - 100) = 100 - 60 = 40 км - отставание второго поезда за час до прибытия.