I этап республиканской олимпиады школьников по математике 2020-2021 учебный год
9 класс. І день
Время работы: 3 часа. Касдая задача оценивается в
Использование калькуляторов запрещено.
1. Дан равнобедренный треугольник ABC c AB = AC и AB = 36°. Длина
биссектрисы, проведенной из вершины В. равна 10. Найдите длину высоты.
проведенной из вершины А.
2. Найдите все натуральные числа п такие, что число n* - 2n + 23n? - 22n + 16
Является полным квадратом.
3. На олимпиаде «Шелковый Путь», где участвовали 100 школьников, были
предложены четыре задачи. 1-ю задачу решили 90 школьников, 2-ю - 80, 3-10-70,
а 4-ю
всего 60 школьников. Никто не решил все четыре задачи. Сколько
школьников решили ровно по три задачи? ответ обосновать,
Осевым сечением куба будет прямоугольник, одна сторона которого равна длине ребра, а другая - диагонали грани. Если ребро известно и равно а. То диагональ грани будет одновременно гипотенузой равностороннего прямоугольного треугольника, катеты которого - это два смежных ребра куба или две стороны квадрата грани. Отсюда диагональ (гипотенузу) можно вычислить по теореме Пифагора или отношением длина ребра а к синусу (или косинусу) 45град (половины прямого угла). Синус 45град равен половине кв. корня из 2, или 0.707. Поэтому диагональ b = a/0.707. И площадь диагонального сечения квадрата:
S = а*b = (а^2)/0.707
(где а^2 - это а в квадрате, или во второй степени).