Математика: Докажите неравенство:

Для выражение положительно. Сделаем преобразования, эквивалентные на данном множестве: .Пусть строго монотонные непрерывные функции (и дифф. на рассматриваемом множестве). Тогда тоже монотонна на этом множестве. Достаточно показать, что не имеет корней: , где каждое из множителей не обращается в нуль на рассматриваемом множестве. (Поправьте, если неправ).Рассмотрим функцию . Докажем, что она монотонна при положительных : .Используя вышеизложенные рассуждения, приходим к выводу: монотонна при положительных...

Докажите неравенство:

Показать ответ

Ответ:

vladaleonova

15.10.2020 15:32

Для $n\geq 2$ выражение (n+1)^3 положительно. Сделаем преобразования, эквивалентные на данном множестве: $2(n+1)^3\leq n^6 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{n^2}{n+1} }\geq 2^{1/6}$ .

Пусть f(x),g(x) строго монотонные непрерывные функции (и дифф. на рассматриваемом множестве). Тогда f(g(x)) тоже монотонна на этом множестве. Достаточно показать, что [f(g(x))]' не имеет корней: [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) , где каждое из множителей не обращается в нуль на рассматриваемом множестве. (Поправьте, если неправ).

Рассмотрим функцию $f(n)=\frac{n^2}{n+1}=f$ . Докажем, что она монотонна при положительных : $f'=(f+2)'=(\frac{(n+1)^2+1}{n+1} ) '=(n+1)'+(\frac{1}{n+1})'=1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2} 0$ .

Используя вышеизложенные рассуждения, приходим к выводу: $\sqrt{f}$ монотонна при положительных значениях . (Можно и проще: просто поделить на n^2 числитель и знаменатель).