В
Все
Б
Биология
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
А
Алгебра
Р
Русский язык
О
ОБЖ
И
История
Ф
Физика
Қ
Қазақ тiлi
О
Окружающий мир
Э
Экономика
Н
Немецкий язык
Х
Химия
П
Право
П
Психология
Д
Другие предметы
Л
Литература
Г
География
Ф
Французский язык
М
Математика
М
Музыка
А
Английский язык
М
МХК
У
Українська література
И
Информатика
О
Обществознание
Г
Геометрия

Докажите, что если (a, b) = 1, то (2a + b, a(a + b)) = 1. (a,b) - нод

Показать ответ
Ответ:
мария2081
мария2081
15.10.2020 15:59

Пусть (a, a+b) = k ≠ 1. Тогда a=k*s, a+b=k*l; l,s∈N, l>s. => b=k*l-a=k*(l-s) =>

(a, b)=(k*s, k*(l-s))=k*(s, l-s)≥k. Но тогда k≤1 - противоречие. А значит (a, a+b) = 1                                                  (1)

Т.к. a и a+b взаимно просты, то для любого натурального x (x, a(a+b))=(x, a)*(x, a+b). И правда: если x имеет общие множители с a(a+b), то множество этих делителей, общих с a, и множество этих делителей, общих с a+b, не пересекаются кроме как в 1 (иначе они не взаимно просты). А значит максимумы этих подмножеств также взаимно просты, и их произведение, очевидно, максимально возможное среди произведений двух элементов этих разных множеств . А значит произведение этих максимумов - искомый наибольший делитель.

Тогда  (2a + b, a(a + b)) = (2a + b, a) * (2a + b, (a + b)) = (a + (a + b), a) * (a + (a + b), (a + b)) = (*)

Аналогично доказанному ранее в пункте (1) имеем (a + (a + b), a) = (a + (a + b), (a + b)) = 1

(*) = 1*1=1

Ч.т.д.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота