Предположим, что существует натуральное число b такое, что b⁴=5a⁴+13 (знак b значения не имеет, поэтому достаточно доказать, что таких натуральных чисел нет). Тогда число b можно записать как 5n+r, где r - остаток от деления числа b на 5. Получаем равенство (5n+r)⁴=5a⁴+13. Заметим, что правая часть имеет остаток 3 при делении на 5, а значит, число b⁴ имеет остаток 3 при делении на 5 и r≠0. Выражение (5n+r)⁴ имеет такой же остаток при делении на 5, что и число r⁴ (если мы раскроем скобки, то слагаемое r⁴ окажется единственным, не делящимся на 5). Легко проверить, что при r=1,2,3,4 число r⁴ имеет остаток 1 при делении на 5. Мы получили противоречие, следовательно, такого числа b не существует и число 5a⁴+13 не является четвертой степенью никакого целого числа.
Таблица 4х6, то есть всего 24 натуральных числа, не превосходящие 30, без повторений.
Очевидно, что единицу использовать нельзя, поскольку у любого натурального числа с 1 только один общий делитель = 1, а делителей, которые превосходят 1, нет.
Рассмотрим теперь простые числа, не превосходящие 30.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Сосед по общей стороне клеточки, для указанных простых чисел, может быть только кратным этому простому числу (причем не равен самому числу).
Рассмотрим указанные простые числа по убыванию:
29, кратные натуральные для 29 это 58=29*2>30, (или еще больше 29*3, 29*4 и т. д.), то есть 29 не годиться для записи в таблицу.
23, кратные натуральные для 23 это 46=29*2>30 (или еще больше), то есть 23 для записи в таблицу не годиться.
19 и 17 - тоже не годятся по той же причине.
13 - кратные натуральные для 13, это 26=13*2, далее 13*3 = 39 - и другие уже не подходят (т.к. больше 30). То есть для 13 лишь один кандидат в соседи - это 26. Но соседей у клеточки всегда два или более. Поэтому 13 - тоже не подходит.
По той же причине 11 - тоже не подходит (один кандидат в соседи = 22, другие же превосходят 30).
Таким образом из первых 30 натуральных чисел не подходят следующие: 1, 29, 23, 19, 17, 13, 11 - это уже 7 чисел не подходят. Осталось всего 30-7 = 23 числа. Но 23 числа - это слишком мало, чтобы заполнить таблицу 4*6, которой требуется 24 числа.
Таблица 4х6, то есть всего 24 натуральных числа, не превосходящие 30, без повторений.
Очевидно, что единицу использовать нельзя, поскольку у любого натурального числа с 1 только один общий делитель = 1, а делителей, которые превосходят 1, нет.
Рассмотрим теперь простые числа, не превосходящие 30.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Сосед по общей стороне клеточки, для указанных простых чисел, может быть только кратным этому простому числу (причем не равен самому числу).
Рассмотрим указанные простые числа по убыванию:
29, кратные натуральные для 29 это 58=29*2>30, (или еще больше 29*3, 29*4 и т. д.), то есть 29 не годиться для записи в таблицу.
23, кратные натуральные для 23 это 46=29*2>30 (или еще больше), то есть 23 для записи в таблицу не годиться.
19 и 17 - тоже не годятся по той же причине.
13 - кратные натуральные для 13, это 26=13*2, далее 13*3 = 39 - и другие уже не подходят (т.к. больше 30). То есть для 13 лишь один кандидат в соседи - это 26. Но соседей у клеточки всегда два или более. Поэтому 13 - тоже не подходит.
По той же причине 11 - тоже не подходит (один кандидат в соседи = 22, другие же превосходят 30).
Таким образом из первых 30 натуральных чисел не подходят следующие: 1, 29, 23, 19, 17, 13, 11 - это уже 7 чисел не подходят. Осталось всего 30-7 = 23 числа. Но 23 числа - это слишком мало, чтобы заполнить таблицу 4*6, которой требуется 24 числа.
ответ. Нельзя.
Подробнее - на -
Пошаговое объяснение: