Дифференциальное уравнение Дифференциальное уравнение

Показать ответ

Ответ:

Anton2657

15.10.2020 12:43

(3x - 4y)y' = 4x + 3y

$y' = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}$

Тогда $f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{4\lambda x + 3\lambda y}{3\lambda x - 4\lambda y} = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y} = f(x,y)$

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: $y = ux, \ y' = u'x + u,$ где u = u(x)

Тогда исходное уравнение примет вид:

$u'x + u = \dfrac{4x + 3ux}{3x - 4ux}$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 3u}{3 - 4u} - u$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 4u^{2}}{3 - 4u}$

$\dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \int \dfrac{dx}{x}$

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{3}{4} \int \dfrac{du}{1 + u^{2}} - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2u}{1 + u^{2}}d(1 +u^2) = \\= \dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C$

$2) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C$

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}$

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| - \ln |x| = C$

Обратная подстановка:

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C$ — общий интеграл

ответ: $\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Aleksey4569

20.03.2022 20:51

Eсли плыть со скоростью 18 км ч, то через 4 часа до пункта назначения останется 12 км. c какой скоростью надо плыть чтобы преодолеть весь путь за 3 часа...

Exzify

20.03.2022 20:51

Сколько сахара останется из 20 кг через 10 дней,если в день тратят 5/8 кг?...

abrashevamarin

19.04.2023 07:05

Скорость течения реки чёрная составляет 2 км/ч. в 7 часов утра от пристани березки до пристани морозки вниз по течению отправился катер, скорость которого относительно воды...

ketjaan13

19.04.2023 07:05

Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби а) 3 3/1 2 2/5 7 3/4 4 2/9 1 2/17 б) 4 1/2 1 3/11 2 1/6 3 4/9 5 5/14...

Nikbooc

19.04.2023 07:05

Вычисли вычисли записывая выражения столбиком 1000 - 658 650 - 458 458 плюс 249 708 - 652 142 + 378 329 + 97 700 -652...

zizigi

19.04.2023 07:05

Выполни действия. ответ дайте в километрах, метрах, сантиметрах и миллиметрах. 16м82см: 4+9м4дм7см*3 объясните как правильно дать ответ. вступительный экзамен в 5 класс....

silvia16

08.11.2021 15:38

Найдите название аниме по картинке...

margocharlip0cmwu

24.04.2020 18:35

Номера: 32, 34, 35 30 ! ...

siifwfwutut3otu

09.02.2021 08:19

Ваш круйзер был обстрелян злоумышленниками из автоматических винтовок, ваш напарник чрезвычайно ранен и не может продолжать движение. преступники побежали с места происшествия...

VerinaNice

07.04.2021 23:40

Втөбесінен ас қабырғасына дейінгі қашықтықты табыңдар (мм есебімен) ...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку