Дано множество U= {-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5} и множество А (дано по вариантам) B – множество корней уравнения х4 +х3 + х2 + + = 0(числовые коэффициенты даны по вариантам) Найти: 1) AB; A∩B; A\B; B\ 2) Р(В)– множество всех подмножеств множества В и найти мощность этого множества. 3) Выяснить какая из четырех возможностей выполняется для множеств А и С: АС, или С или А=С, или А(пустое множество)
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ: Дано множество U= {-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5}; B – множество корней уравнения х4 - 7х3 + 6х2 + 32х -32 = 0; A={1; -2; 3;-4}. Найти: 1) AB; A∩B; A\B; B\A; ; 2) Р(В)– множество всех подмножеств множества В и найти мощность этого множества. Решение: найдем множество В-множество корней уравнения четвертой степени ищем подбором любой корень многочлена: Р(х)= х4 - 7х3 + 6х2 + 32х -32 Р(1) = 1-7 + 6 + 32 – 32 = 0, следовательно х=1-корень уравнения, поэтому х4 - 7х3 + 6х2 + 32х -32 делим на ( х-1) группируем слагаемые так, чтобы получился общий множитель, для этого второе слагаемое раскладываем на два: 7х3=6х3+х3 (х4 - х3 )+ (6х2 -6х3)+ (32х -32)=0 х3(х-1) - 6х2(х-1) + 32(х -1) = 0 (х-1)( х3 - 6х2 + 32) = 0 Далее также ищем корни для многочлена Р(х)= х3 - 6х2 + 32 Р(-2) = -8 -24 + 32 = 0, следовательно х=-2 - корень уравнения, поэтому х3 - 6х2 + 32 делим на ( х + 2) и получаем (х-1)(х+2)( х2 -8х + 16)=0 (х-1)(х+2)( х -4 )(х-4)=0, следовательно В = { -2 ; 1 ; 4 }. 1) AB = {-4; -2; 1; 3; 4 } A∩B = {-2; 1} A\B = {-4; 3} B\A = {4} = U\B = { -5; -4; -3; -1; 2; 3; 5 } {-4; -2; 1; 3; 4}\{ -2; 1} = { -4; 3;4} ={ -2; 1; 4 } 2) Р(В) = { Ø ; { -2}; {1}; {4}; { -2; 1}; { -2; 4}; {1;4}; { -2; 1; 4}} ; | Р(В) | = 8.
Пусть х км/ч скорость пешехода, у км/ч скорость велосипедиста. Место встречи - С. Так как выехали одновременно и встретились через 2 часа, то каждый проехал до встречи 2 часа. Значит АС= 2х, СВ =2у. Расстояние между А и В 32 км, составим уравнение 2х+2у=32. Далее: из С в А поехал велосипедист со скоростью у км/ч, а расстояние СА= 2х км, найдем время движения велосипедиста из С в А: 2х/у. Аналогично находим время движения пешехода из С в В: 2у/х. Так как пешеход прибыл в В на 5 ч 20мин, позже, составим уравнение:
2х/у=2у/х-16/3. Остается решить систему: второе уравнение - методом замены переменной и т. д.
Брусок находится на наклонной плоскости и может скользить вниз при наличии трения, на него будут действовать сила притяжения к земле, сила реакции опоры и сила трения (Рис. 1).
Получение стандартного уравнения движения тел по наклонной плоскости
Рис. 1. Получение стандартного уравнения движения тел по наклонной плоскости
=>
Векторная сумма этих трех сил будет равна произведению массы на ускорение. Координатная ось будет направлена в сторону ускорения вдоль наклонной плоскости – вниз, ось будет перпендикулярна оси х, соответственно, она совпадает по направлению с силой реакции опоры.
Тогда в проекциях на ось мы имеем: составляющая противолежащая углу , как мы помним, углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, – вертикальная линия, основание плоскости – горизонтальная линия. Линия проецирования перпендикулярна поверхности плоскости, поэтому эти два угла будут равны. Сила трения проецируется со знаком «минус», а сила реакции опоры проекции не имеет.
По оси проецируются две силы: проецируется через со знаком «минус», так как проекция направлена против оси , и сила реакции опоры.
Находим силу трения через произведение коэффициента трения и силы реакции опоры, которую находим из второго уравнения.
Подставляя это выражение силы трения в уравнение по оси , получаем стандартное уравнение движения тела по наклонной плоскости.
Задача 1
Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона . Чему равен коэффициент трения?
1. 2. 3. 4.
Составляем краткую запись условия задачи и решаем:
Записываем стандартное уравнение движения тела по наклонной плоскости, ускорение в данном случае будет равно нулю, так как тело движется равномерно по наклонной плоскости. Так как у нас не может быть равно нулю, значит, нулю будет равна разность в скобочках, отсюда мы и находим коэффициент трения, который будет равен , по выборке это ответ 3.
Задача 2
Троллейбус массой 12 т движется равномерно под гору с уклоном 0,05 рад при силе тяги 4 кН. Определить силу сопротивления движению.
Записываем краткое условие задачи и выполняем поясняющий чертеж (рис. 2):
Решение задачи 2
Рис. 2. Решение задачи 2
при
ответ: .
Запишем общее уравнение динамики по второму закону Ньютона и в проекции ох, необходимо помнить, что если угол α меньше или равен 0,1 рад, то в задачах по физике можно применять равенство, где угол численно равен и равен , а равен единице. В таком случае мы можем выразить силу сопротивления через уравнение и, подставив значения, получим, что
Задача 3
На наклонной плоскости с углом 300 находится брусок массой m, на который воздействует горизонтальная сила, равная mg/2, прижимающая брусок к поверхности плоскости. С каким ускорением будет двигаться брусок при коэффициенте трения, равном 0,065?
Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 3):
Решение задачи 3
Рис. 3. Решение задачи 3
; ;
ответ : .
К бруску приложено несколько сил. Горизонтальная сила, прижимающая брусок к плоскости, направлена в одну сторону, сила тяжести действует так, что брусок должен двигаться в другую сторону, поэтому необходимо вычислить силы, которые могут подействовать на брусок, сдвинув его с места. Сила имеет проекцию , которая будет равна , так как равен . Сила пытается сдвинуть брусок вверх по наклонной плоскости, но она имеет проекцию , которая, в свою очередь, равна произведению на , который меньше единицы. В таком случае будет больше силы, действующей на тело, это означает, что брусок будет двигаться вниз и сила трения будет направлена вверх. Применив уравнение динамики по второму закону Ньютона и спроецировав его на координатные оси, мы выразим силу реакции опоры и подставим в уравнение по оси , откуда и получим выражение для ускорения.
Подставляя числовые значения, определим, что ускорение будет отрицательным. Это значит, что тело не может двигаться вниз по наклонной плоскости, но и при наличии силы притяжения и силы, прижимающей брусок, тело не может двигаться вверх по наклонной плоскости. Это говорит о том, что ускорение равно нулю, то есть тело могло бы двигаться вниз, но силе тяжести не удается преодолеть возникающую при этом силу трения. Сила трения не будет достигать своего максимального значения, будет принимать несколько меньшее значение, а ускорение тела будет равно нулю.
Заключение
Мы разобрали основные типы задач на движение тел по наклонной плоскости, использование основных законов механики для различных решения задач не только на уроках физики, но даже в практической и повседневной жизни.
Список литературы
Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. – М.: Просвещение, 1990.
Домашнее задание
Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
Какое равенство используется при решении задач, когда угол меньше или равен 0,1 рад?
Пусть х км/ч скорость пешехода, у км/ч скорость велосипедиста. Место встречи - С. Так как выехали одновременно и встретились через 2 часа, то каждый проехал до встречи 2 часа. Значит АС= 2х, СВ =2у. Расстояние между А и В 32 км, составим уравнение 2х+2у=32. Далее: из С в А поехал велосипедист со скоростью у км/ч, а расстояние СА= 2х км, найдем время движения велосипедиста из С в А: 2х/у. Аналогично находим время движения пешехода из С в В: 2у/х. Так как пешеход прибыл в В на 5 ч 20мин, позже, составим уравнение:
2х/у=2у/х-16/3. Остается решить систему: второе уравнение - методом замены переменной и т. д.
Брусок находится на наклонной плоскости и может скользить вниз при наличии трения, на него будут действовать сила притяжения к земле, сила реакции опоры и сила трения (Рис. 1).
Получение стандартного уравнения движения тел по наклонной плоскости
Рис. 1. Получение стандартного уравнения движения тел по наклонной плоскости
=>
Векторная сумма этих трех сил будет равна произведению массы на ускорение. Координатная ось будет направлена в сторону ускорения вдоль наклонной плоскости – вниз, ось будет перпендикулярна оси х, соответственно, она совпадает по направлению с силой реакции опоры.
Тогда в проекциях на ось мы имеем: составляющая противолежащая углу , как мы помним, углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, – вертикальная линия, основание плоскости – горизонтальная линия. Линия проецирования перпендикулярна поверхности плоскости, поэтому эти два угла будут равны. Сила трения проецируется со знаком «минус», а сила реакции опоры проекции не имеет.
По оси проецируются две силы: проецируется через со знаком «минус», так как проекция направлена против оси , и сила реакции опоры.
Находим силу трения через произведение коэффициента трения и силы реакции опоры, которую находим из второго уравнения.
Подставляя это выражение силы трения в уравнение по оси , получаем стандартное уравнение движения тела по наклонной плоскости.
Задача 1
Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона . Чему равен коэффициент трения?
1. 2. 3. 4.
Составляем краткую запись условия задачи и решаем:
Записываем стандартное уравнение движения тела по наклонной плоскости, ускорение в данном случае будет равно нулю, так как тело движется равномерно по наклонной плоскости. Так как у нас не может быть равно нулю, значит, нулю будет равна разность в скобочках, отсюда мы и находим коэффициент трения, который будет равен , по выборке это ответ 3.
Задача 2
Троллейбус массой 12 т движется равномерно под гору с уклоном 0,05 рад при силе тяги 4 кН. Определить силу сопротивления движению.
Записываем краткое условие задачи и выполняем поясняющий чертеж (рис. 2):
Решение задачи 2
Рис. 2. Решение задачи 2
при
ответ: .
Запишем общее уравнение динамики по второму закону Ньютона и в проекции ох, необходимо помнить, что если угол α меньше или равен 0,1 рад, то в задачах по физике можно применять равенство, где угол численно равен и равен , а равен единице. В таком случае мы можем выразить силу сопротивления через уравнение и, подставив значения, получим, что
Задача 3
На наклонной плоскости с углом 300 находится брусок массой m, на который воздействует горизонтальная сила, равная mg/2, прижимающая брусок к поверхности плоскости. С каким ускорением будет двигаться брусок при коэффициенте трения, равном 0,065?
Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 3):
Решение задачи 3
Рис. 3. Решение задачи 3
; ;
ответ : .
К бруску приложено несколько сил. Горизонтальная сила, прижимающая брусок к плоскости, направлена в одну сторону, сила тяжести действует так, что брусок должен двигаться в другую сторону, поэтому необходимо вычислить силы, которые могут подействовать на брусок, сдвинув его с места. Сила имеет проекцию , которая будет равна , так как равен . Сила пытается сдвинуть брусок вверх по наклонной плоскости, но она имеет проекцию , которая, в свою очередь, равна произведению на , который меньше единицы. В таком случае будет больше силы, действующей на тело, это означает, что брусок будет двигаться вниз и сила трения будет направлена вверх. Применив уравнение динамики по второму закону Ньютона и спроецировав его на координатные оси, мы выразим силу реакции опоры и подставим в уравнение по оси , откуда и получим выражение для ускорения.
Подставляя числовые значения, определим, что ускорение будет отрицательным. Это значит, что тело не может двигаться вниз по наклонной плоскости, но и при наличии силы притяжения и силы, прижимающей брусок, тело не может двигаться вверх по наклонной плоскости. Это говорит о том, что ускорение равно нулю, то есть тело могло бы двигаться вниз, но силе тяжести не удается преодолеть возникающую при этом силу трения. Сила трения не будет достигать своего максимального значения, будет принимать несколько меньшее значение, а ускорение тела будет равно нулю.
Заключение
Мы разобрали основные типы задач на движение тел по наклонной плоскости, использование основных законов механики для различных решения задач не только на уроках физики, но даже в практической и повседневной жизни.
Список литературы
Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. – М.: Просвещение, 1990.
Домашнее задание
Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
Какое равенство используется при решении задач, когда угол меньше или равен 0,1 рад?