1) Трапеция АВСД. <A=30° , <B=60° , средняя линия = 13 см, РМ=7 см, где Р- середина основания ВС, М- середина основания АД. Так ка средняя линия = 13 см, то сумма оснований равно 13·2=26 см (АД+ВС):2=13 ⇒ АД+ВС=26 Проведём две прямые из точки Р , параллельные боковым сторонам. Это будут прямые РТ║АВ и РН║СД. ΔМТН: ∠РТМ=∠А=30° , ∠РНМ=∠Д=60° ⇒∠ТРН=90° ⇒ РМ- медиана, проведённая из прямого угла ⇒ РМ=МТ=МН=7 ( по условию) ТН=7+7=14 (см) АТ=ВР=РС=НД ⇒АД-(АТ+НД)=АД-ВС=ТН=14 {АД+ВС=26 {2АД=26+14=40 {АД=20 {АД-ВC=14 {2ВС=26-14=12 {ВС=6 ответ: ВС=6 см.
2) АВСД - трапеция, АВ=13 см, ВД=5 см. MN - средняя линия , S(MBCN):S(АMNД)=7:11 По условию в трапецию можно вписать окружность, значит сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим АД=у, ВС=х, тогда АД+ВС=АВ+СД х+у=5+13=18 Средняя линия MN=18^2=9 (cм) Так как средняя линия трапеции делит пополам и её высоту, то высотs трапеций АМNД и MBCN равны, обозначим их через h. S(MBCN)=(MN+BC):2·h=(9+х):2·h S(AMNД)=(АД+MN):2·h=(9+у):2·h 7:11=(9+x):(9+y) ⇒11(x+9)=7(y+9) {11x-7y=-36 {11x-7·(18-x)=-36 {11x+7x=90 {18x=90 {x=5 {x+y=18 {y=18-x {y=18-x {y=18-x {y=13
Пусть первое число а, второе (а+d), третье (а+2d) -три первых числа составляют арифметическую прогрессию. Четвертое число b. По условию: 1) Сумма второго и третьего равна 60: (а+d)+(a+2d)=60. 2) Сумма первого и четвертого равна 66: a+b=66. 3) Числа (a+d); (a+2d) и b составляют геометрическую прогрессию, т.е b:(a+2d)=(a+2d):(a+d) или b(a+d)=(a+2d)²
Из трех условий с тремя неизвестными получаем: 1) a = (60-3d)/2; 2) b = 66 - a = 66 - ((60-3d)/2) = (72+3d)/2; 3) a+d=((60-3d)/2)+d=(60-d)/2 a+2d=((60-3d)/2)+2d=(60+d)/2 Условие 3) примет вид: (72+3d)/2· (60-d)/2 = ((60+d)/2)². Умножаем на 4: (72+3d)·(60-d)=(60+d)²; 72·60+180d-72d-3d²=3600+120d+d² 4d²+12d-720=0; d²+3d-180=0 D=3²-4·(-180)=9+720=729=27² d₁=(-3-27)/2=-15 или d₂=(-3+27)/2=12; a₁=(60-3d₁)/2=(60+45)/2=105/2 или a₂=(60-3d₂)/2=(60-36)/2=12; a₁+d₁=(105/2)-15=75/2 или a₂+d₂=12+12=24; a₁+2d₁=(105/2)-30=45/2 или a₂+2d₂=12+24 =36; b₁=(72+3d₁)/2=(72-45)/2=27/2 или b₂=(72+3d₂)/2=(72+36)/2=54. О т в е т. 105/2; 75/2; 45/2; 27/2 или 12; 24; 36; 54.
РМ=7 см, где Р- середина основания ВС, М- середина основания АД.
Так ка средняя линия = 13 см, то сумма оснований равно 13·2=26 см
(АД+ВС):2=13 ⇒ АД+ВС=26
Проведём две прямые из точки Р , параллельные боковым сторонам.
Это будут прямые РТ║АВ и РН║СД.
ΔМТН: ∠РТМ=∠А=30° , ∠РНМ=∠Д=60° ⇒∠ТРН=90° ⇒
РМ- медиана, проведённая из прямого угла ⇒
РМ=МТ=МН=7 ( по условию)
ТН=7+7=14 (см)
АТ=ВР=РС=НД ⇒АД-(АТ+НД)=АД-ВС=ТН=14
{АД+ВС=26 {2АД=26+14=40 {АД=20
{АД-ВC=14 {2ВС=26-14=12 {ВС=6
ответ: ВС=6 см.
2) АВСД - трапеция, АВ=13 см, ВД=5 см.
MN - средняя линия , S(MBCN):S(АMNД)=7:11
По условию в трапецию можно вписать окружность, значит сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим АД=у, ВС=х, тогда
АД+ВС=АВ+СД
х+у=5+13=18
Средняя линия MN=18^2=9 (cм)
Так как средняя линия трапеции делит пополам и её высоту, то высотs трапеций АМNД и MBCN равны, обозначим их через h.
S(MBCN)=(MN+BC):2·h=(9+х):2·h
S(AMNД)=(АД+MN):2·h=(9+у):2·h
7:11=(9+x):(9+y) ⇒11(x+9)=7(y+9)
{11x-7y=-36 {11x-7·(18-x)=-36 {11x+7x=90 {18x=90 {x=5
{x+y=18 {y=18-x {y=18-x {y=18-x {y=13
ответ: ВС=5.
Четвертое число b.
По условию:
1) Сумма второго и третьего равна 60:
(а+d)+(a+2d)=60.
2) Сумма первого и четвертого равна 66:
a+b=66.
3) Числа (a+d); (a+2d) и b составляют геометрическую прогрессию, т.е
b:(a+2d)=(a+2d):(a+d)
или
b(a+d)=(a+2d)²
Из трех условий с тремя неизвестными получаем:
1) a = (60-3d)/2;
2) b = 66 - a = 66 - ((60-3d)/2) = (72+3d)/2;
3) a+d=((60-3d)/2)+d=(60-d)/2
a+2d=((60-3d)/2)+2d=(60+d)/2
Условие 3) примет вид:
(72+3d)/2· (60-d)/2 = ((60+d)/2)².
Умножаем на 4:
(72+3d)·(60-d)=(60+d)²;
72·60+180d-72d-3d²=3600+120d+d²
4d²+12d-720=0;
d²+3d-180=0
D=3²-4·(-180)=9+720=729=27²
d₁=(-3-27)/2=-15 или d₂=(-3+27)/2=12;
a₁=(60-3d₁)/2=(60+45)/2=105/2 или a₂=(60-3d₂)/2=(60-36)/2=12;
a₁+d₁=(105/2)-15=75/2 или a₂+d₂=12+12=24;
a₁+2d₁=(105/2)-30=45/2 или a₂+2d₂=12+24 =36;
b₁=(72+3d₁)/2=(72-45)/2=27/2 или b₂=(72+3d₂)/2=(72+36)/2=54.
О т в е т. 105/2; 75/2; 45/2; 27/2 или 12; 24; 36; 54.