Числа от 1 до 10 записаны в строчку в произвольном порядке. каждое из них сложим с номером места, на котором оно стоит. докажите, что хотя бы две суммы оканчиваются одной и той же цифрой.

Решение

Рассмотрим самый первый вариант:

числа

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 - сумма равняется 55 (Число нечетное)

порядковые места

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 - сумма равняется 55 (Число нечетное)

тогда сумма чисел и их порядковых мест равна 55+55=110 (Число четное)

Мы знаем, что если мы поменяем порядок чисел, то сумма останется прежней (55) (от перемены мест слагаемых и т.д.), значит после сложения с суммой порядковых мест (55) общая сумма останется прежней (110) и числом четным. Далее, мы знаем, что четное число можно получить сложением: а) двух четных чисел; б) двух нечетных чисел. Сумма 110 у нас получается из сложения 10 чисел, а значит среди этих 10 чисел должно быть одинаковое количество четных чисел и одинаковое количество нечетных чисел (попарно). Если не понятно поясняю: например числа оканчивающиеся на (1 и 3) - 1-я пара, (5 и 7) - 2-я пара, для (9) - пары нет, (0 и 2) - 3-я пара, (4 и 6) - 4-я пара, для (8) - пары нет. И по этому чтобы появилась 5-я пара чисел надо сложить пару из нечетных чисел или из четных (в нашем примере: 9 и 1 или 9 и 3 или 9 и 5 - видим что окончание на 1 может добавиться к такому же окончанию в первой паре, 3 тоже к первой паре и т.д. и для четных тоже). Данный пример показывает, что могут быть две пары четных и две пары нечетных чисел и пятая пара четная или нечетная, но могут быть и другие комбинации например: одна пара четная и четыре пары нечетные. Но в любом случае каких то чисел (четных или нечетных) будет больше пяти. А у нас чисел четных и нечетных  (имею ввиду оканчивающихся на 1, 2, 3...0) ровно по пять штук. Значит при любом раскладе, четных или нечетных чисел будет минимум шесть. Т.е. среди этих шести чисел будут минимум два числа оканчивающиеся на одинаковую цифру.