Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются - вопрос №5823176 от IrinaZoloeva 19.05.2020 18:16

Question

Математика: Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. найдите произведение большего основания на 30,если высота трапеции равна 8,а длины биссектрис 10 и 17

IrinaZoloeva · Answer

Пусть биссектрисы тупых углов B‍ и C‍ пересекаются в точке P,‍принадлежащей большему основанию AD‍ трапеции ABCD.‍ Тогда ∠APB = ∠PBC = ∠PBA,‍ значит, треугольник ABP —‍ равнобедренный. Аналогично, треугольник PCD — также равнобедренный.
Обозначим CD = DP = у, AB = AP = х, ‍ M ‍ и N — ‍ основания перпендикуляров, опущенных из вершин соответственно B ‍ и C ‍ на AD.
‍ Тогда PN = ‍√(17² - 8²) = 15,
PM = ‍√(10² - 8²) = 6.‍Следовательно, BC = MN = PM + PN = 15 + 6 = 21.‍
По теореме Пифагора х² = ВМ² +(х-6)² = 8² + (х-6)².
х² = 64 + х² - 12х + 36.
12х = 100,
Отсюда находим, что х = 100/12 = 25/3 = 250/30.‍ Аналогично, 8² = у² - (у - 15)²,
64 = у² - у² + 30у - 225,
30у = 289.
Отсюда находим, что y = 289/30.
‍ Следовательно, основание AD = AP + PD = х +y = (250+289)/30 = 539/30.

Произведение большего основания на 30‍ равно 539.